Сократите дробь: 2х^2-5x-12/x^2-16

Для того чтобы сократить данную дробь, нам нужно разложить её на множители и упростить. Для начала факторизуем числитель и знаменатель:

2x^2 - 5x - 12 = (2x + 3)(x - 4) x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)

Теперь подставим полученные множители обратно в выражение:

(2x + 3)(x - 4) / (x + 4)(x - 4)

Мы видим, что (x - 4) в числителе и знаменателе сокращаются, оставляя:

2x + 3 / x + 4

Таким образом, после сокращения дроби 2x^2 - 5x - 12 / x^2 - 16 получится 2x + 3 / x + 4.

Для сокращения дроби (\frac{2x^2-5x-12}{x^2-16}) начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Факторизация знаменателя: Знаменатель (x^2-16) является разностью квадратов, что позволяет его факторизовать следующим образом: [ x^2 - 16 = (x-4)(x+4) ]

2. Факторизация числителя: Числитель (2x^2-5x-12) можно факторизовать методом группировки или подбором корней. Попробуем подобрать корни квадратного трехчлена. Ищем такие числа, которые при умножении дают произведение (2 \cdot (-12) = -24) и в сумме дают (-5). Подходящей парой чисел будет (-8) и (3), поскольку (-8 + 3 = -5) и (-8 \cdot 3 = -24). Тогда: [ 2x^2 - 5x - 12 = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = (2x^2 - 8x) + (3x - 12) = 2x(x - 4) + 3(x - 4) = (2x + 3)(x - 4) ]

3. Сокращение дроби: Теперь подставим факторизованные формы числителя и знаменателя в исходную дробь: [ \frac{2x^2-5x-12}{x^2-16} = \frac{(2x+3)(x-4)}{(x-4)(x+4)} ] Здесь видим, что общий множитель ((x-4)) присутствует как в числителе, так и в знаменателе. При условии, что (x \neq 4) и (x \neq -4) (чтобы избежать деления на ноль), мы можем сократить дробь: [ \frac{(2x+3)(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x+3}{x+4} ]

Таким образом, сокращенная форма дроби (\frac{2x^2-5x-12}{x^2-16}) равна (\frac{2x+3}{x+4}), с ограничениями (x \neq 4) и (x \neq -4).