Сократите дробь : 5х^2+х-4/х2+х

Давайте разберем сокращение данной дроби: (\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x}).

Шаг 1. Анализ числителя и знаменателя

1. Числитель: (5x^2 + x - 4) — это квадратичное выражение. Попробуем разложить его на множители.
2. Знаменатель: (x^2 + x). В этом случае можно вынести общий множитель (x), чтобы упростить выражение.

Шаг 2. Раскладываем знаменатель на множители

В знаменателе: (x^2 + x = x(x + 1)).
Теперь дробь принимает вид: [ \frac{5x^2 + x - 4}{x(x + 1)}. ]

Шаг 3. Раскладываем числитель на множители

Числитель — это (5x^2 + x - 4). Для разложения воспользуемся методом подбора корней или разложения на множители.

Подбор корней

Используем теорему Виета и подбираем корень уравнения (5x^2 + x - 4 = 0).
Попробуем найти рациональные корни, подставляя делители свободного члена ((-4)) в дробь (\pm 1, \pm 2, \pm 4).

Подставим (x = 1): [ 5(1)^2 + 1 - 4 = 5 + 1 - 4 = 2 \neq 0. ] Подставим (x = -1): [ 5(-1)^2 + (-1) - 4 = 5 - 1 - 4 = 0. ] Таким образом, (x = -1) является корнем числителя.

Деление числителя на ((x + 1))

Разделим (5x^2 + x - 4) на ((x + 1)) с помощью уголкового деления.

1. Первое действие: берем старший член (5x^2) и делим на (x), получаем (5x).
2. Умножаем (5x) на ((x + 1)): (5x^2 + 5x).
3. Вычитаем: ((5x^2 + x - 4) - (5x^2 + 5x) = -4x - 4).
4. Теперь делим (-4x) на (x), получаем (-4).
5. Умножаем (-4) на ((x + 1)): (-4x - 4).
6. Вычитаем: ((-4x - 4) - (-4x - 4) = 0).

Итак, (5x^2 + x - 4 = (x + 1)(5x - 4)).

Шаг 4. Подставляем разложение обратно

Теперь дробь выглядит так: [ \frac{(x + 1)(5x - 4)}{x(x + 1)}. ]

Шаг 5. Сокращаем общий множитель ((x + 1))

При условии, что (x \neq -1) (чтобы знаменатель не обращался в ноль), мы можем сократить ((x + 1)). Получаем: [ \frac{5x - 4}{x}, \quad x \neq -1. ]

Ответ:

Сокращенная дробь: [ \frac{5x - 4}{x}, \quad x \neq -1. ]

Чтобы сократить дробь (\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x}), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Факторизация числителя (5x^2 + x - 4):

   Нам нужно найти такие два числа, которые в произведении дают (-20) (это произведение (5 \times -4)) и в сумме (1) (коэффициент при (x)).

   Подходящие числа: (5) и (-4). Теперь можем разложить на множители: [ 5x^2 + 5x - 4x - 4 = 5x(x + 1) - 4(x + 1) = (5x - 4)(x + 1) ]

2. Факторизация знаменателя (x^2 + x):

   Знаменатель можно вынести за скобки: [ x^2 + x = x(x + 1) ]

Теперь мы можем переписать дробь с найденными факторами: [ \frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x} = \frac{(5x - 4)(x + 1)}{x(x + 1)} ]

1. Сокращение дроби:

   Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель ((x + 1)), который можно сократить: [ \frac{(5x - 4) \cancel{(x + 1)}}{x \cancel{(x + 1)}} = \frac{5x - 4}{x} ]

Таким образом, сокращенная форма дроби: [ \frac{5x - 4}{x} ]

1. Ответ:

Итак, окончательный ответ: [ \frac{5x - 4}{x} ]

Не забудьте учитывать, что сокращение возможно только при (x \neq -1) (иначе дробь будет неопределенной).