Сократите дробь: √(а^3-а)/(а-2а^(1/2)+1) Без скобок

Чтобы сократить дробь (\sqrt{a^3 - a} / (a - 2a^{1/2} + 1)), нужно упростить числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: (\sqrt{a^3 - a})

1. Вынесем общий множитель: [ a^3 - a = a(a^2 - 1) ]

2. Разложим (a^2 - 1) по формуле разности квадратов: [ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) ]

3. Таким образом, числитель можно записать как: [ \sqrt{a(a-1)(a+1)} ]

Знаменатель: (a - 2a^{1/2} + 1)

1. Введем замену (x = a^{1/2}), тогда (a = x^2). Перепишем знаменатель с учетом этой замены: [ x^2 - 2x + 1 ]

2. Заметим, что это квадрат разности: [ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 ]

3. Вернемся к (a): [ (a^{1/2} - 1)^2 ]

Объединение числителя и знаменателя

Теперь дробь принимает вид: [ \frac{\sqrt{a(a-1)(a+1)}}{(a^{1/2} - 1)^2} ]

Упрощение

1. Представим числитель в виде произведения под корнем: [ \sqrt{a} \cdot \sqrt{(a-1)(a+1)} ]

2. Заменим (a^{1/2}) на (\sqrt{a}): [ \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{(a-1)(a+1)}}{(\sqrt{a} - 1)^2} ]

3. Обозначим числитель явно: [ \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{(a-1)(a+1)}}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} - 1)} ]

4. Заметим, что (\sqrt{a}) является общим множителем. Поделим числитель и знаменатель на (\sqrt{a} - 1): [ \frac{\sqrt{(a-1)(a+1)}}{\sqrt{a} - 1} ]

Окончательный результат

Таким образом, дробь упрощается до: [ \frac{\sqrt{(a-1)(a+1)}}{\sqrt{a} - 1} ]

Это и есть окончательно сокращенная форма данной дроби.

Для сокращения данной дроби необходимо вынести общий множитель из числителя и знаменателя.

√(а^3-а) = √а(а^2-1) = √а(а+1)(а-1)

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

√а(а+1)(а-1)/(а-2а^(1/2)+1)

Теперь можно сократить общие множители:

√а(а+1)(а-1)/(а-2а^(1/2)+1) = √а(а+1)(а-1)/(а-2√а+1)