Сократите дробь x^3+6x^2-4x-24/(x+2)(x+6)

x-4

Для сокращения данной дроби сначала раскладываем многочлен в числитель на множители с помощью метода группировки:

x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = x^2(x + 6) - 4(x + 6) = (x^2 - 4)(x + 6) = (x + 2)(x - 2)(x + 6),

Теперь подставляем это разложение обратно в исходное выражение:

(x^3 + 6x^2 - 4x - 24) / ((x + 2)(x + 6)) = ((x + 2)(x - 2)(x + 6)) / ((x + 2)(x + 6)) = x - 2.

Итак, после сокращения данной дроби получаем, что результат равен x - 2.

Чтобы сократить дробь (\frac{x^3 + 6x^2 - 4x - 24}{(x+2)(x+6)}), нужно выполнить следующие шаги:

1. Факторизация числителя: Прежде чем сокращать дробь, необходимо разложить числитель на множители. Рассмотрим полином (x^3 + 6x^2 - 4x - 24).

   Для этого воспользуемся методом группировки:

   [ x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = (x^3 + 6x^2) + (-4x - 24) ]

   Вынесем общий множитель в каждой группе:

   [ = x^2(x + 6) - 4(x + 6) ]

   Теперь видно, что у нас есть общий множитель (x + 6):

   [ = (x^2 - 4)(x + 6) ]

2. Разложение (x^2 - 4): (x^2 - 4) можно разложить на множители как разность квадратов:

   [ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ]

   Таким образом, числитель можно записать следующим образом:

   [ x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = (x - 2)(x + 2)(x + 6) ]

3. Запись исходной дроби: Теперь дробь принимает вид:

   [ \frac{(x - 2)(x + 2)(x + 6)}{(x + 2)(x + 6)} ]

4. Сокращение общей части: В числителе и знаменателе есть общие множители (x + 2) и (x + 6), которые можно сократить:

   [ \frac{(x - 2)\cancel{(x + 2)}\cancel{(x + 6)}}{\cancel{(x + 2)}\cancel{(x + 6)}} = x - 2 ]

   Таким образом, сокращенная форма дроби:

   [ x - 2 ]

Это и будет окончательным результатом упрощения данной дроби.