Сократите дробь:a) 22p⁴q²/99pⁿq; б)7a/a²+5a; в) y²-z²/2y+2z; г) a²-1/a²-2a+1.

Давайте по порядку сократим каждую из предложенных дробей:

a) ( \frac{22p^4q^2}{99p^nq} )

1. Сначала сократим числитель и знаменатель на их общий делитель. Начнём с чисел: наибольший общий делитель чисел 22 и 99 равен 11: [ \frac{22}{99} = \frac{2}{9} ]

2. Теперь рассмотрим переменные. Мы можем сократить ( p^4 ) и ( p^n ) на ( p^{\min(4, n)} ) и ( q^2 ) и ( q ) на ( q ): [ \frac{p^4}{p^n} = p^{4-n}, \quad \frac{q^2}{q} = q ]

   Итак, исходная дробь упрощается до: [ \frac{2p^{4-n}q}{9} ] (Заметим, что если ( n > 4 ), то в числителе будет ( p^{4-n} ), что является дробной степенью ( p ) и фактически переместится в знаменатель.)

б) ( \frac{7a}{a^2+5a} )

1. Вынесем ( a ) за скобки в знаменателе: [ a^2 + 5a = a(a + 5) ]

2. Теперь сократим ( a ) в числителе и знаменателе: [ \frac{7a}{a(a+5)} = \frac{7}{a+5} ] (Предполагаем, что ( a \neq 0 ), иначе дробь не определена.)

в) ( \frac{y^2-z^2}{2y+2z} )

1. Воспользуемся формулой разности квадратов в числителе: [ y^2 - z^2 = (y + z)(y - z) ]

2. Знаменатель можно выразить как: [ 2y + 2z = 2(y + z) ]

3. Сократим ( y+z ) в числителе и знаменателе: [ \frac{(y+z)(y-z)}{2(y+z)} = \frac{y-z}{2} ] (Заметим, что ( y \neq -z ), иначе дробь не определена из-за деления на ноль.)

г) ( \frac{a^2-1}{a^2-2a+1} )

1. Используем формулу разности квадратов в числителе и формулу квадрата разности в знаменателе: [ a^2 - 1 = (a-1)(a+1), \quad a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 ]

2. Сократим ( a-1 ) в числителе и знаменателе: [ \frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2} = \frac{a+1}{a-1} ] (Если ( a = 1 ), дробь не определена, так как знаменатель становится равным нулю.)

Эти упрощения позволят вам использовать дроби более эффективно в дальнейших расчетах.

a) 22p⁴q²/99pⁿq = 2p³q/9 б) 7a/a²+5a = 7/(a+5) в) y²-z²/2y+2z = (y-z)(y+z)/2(y+z) = (y-z)/2 г) a²-1/a²-2a+1 = (a-1)/(a-1) = 1