Составить формулу n-го члена последовательности 2,5,10,17,26,

Для того чтобы найти формулу n-го члена данной последовательности, нужно сначала выявить закономерность изменения чисел. Если внимательно посмотреть на числа, то можно заметить, что каждое следующее число получается путем добавления к предыдущему числу нечетного числа, начиная с 1.

То есть: 2 + 1 = 3, 5 + 3 = 8, 10 + 5 = 15, 17 + 7 = 24, 26 + 9 = 35.

Таким образом, закономерность изменения чисел заключается в прибавлении к предыдущему числу n-1, где n - порядковый номер числа в последовательности.

Итак, формула n-го члена последовательности будет выглядеть следующим образом: an = a{n-1} + 2n - 1,

где an - n-й член последовательности, a{n-1} - (n-1)-й член последовательности.

Таким образом, формула для n-го члена последовательности 2,5,10,17,26 будет an = a{n-1} + 2n - 1.

Для того чтобы составить формулу n-го члена данной последовательности, сначала нужно выявить закономерность.

Даны первые несколько членов последовательности: 2, 5, 10, 17, 26,.

Шаг 1: Анализ разностей между последовательными членами

Вычислим разности между соседними членами последовательности:

• ( a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3 )
• ( a_3 - a_2 = 10 - 5 = 5 )
• ( a_4 - a_3 = 17 - 10 = 7 )
• ( a_5 - a_4 = 26 - 17 = 9 )

Мы видим, что разности увеличиваются: 3, 5, 7, 9,.

Шаг 2: Анализ разностей второго порядка

Теперь вычислим разности второго порядка:

• ( 5 - 3 = 2 )
• ( 7 - 5 = 2 )
• ( 9 - 7 = 2 )

Разности второго порядка постоянны и равны 2, что указывает на то, что последовательность является квадратичной.

Шаг 3: Предположим квадратичную формулу

Пусть ( a_n ) имеет вид квадратичной формулы: [ a_n = An^2 + Bn + C ]

Шаг 4: Составим систему уравнений

Используем первые три члена последовательности, чтобы найти коэффициенты ( A ), ( B ) и ( C ):

Для ( n = 1 ): [ A(1)^2 + B(1) + C = 2 ] [ A + B + C = 2 ]

Для ( n = 2 ): [ A(2)^2 + B(2) + C = 5 ] [ 4A + 2B + C = 5 ]

Для ( n = 3 ): [ A(3)^2 + B(3) + C = 10 ] [ 9A + 3B + C = 10 ]

Шаг 5: Решим систему уравнений

1. ( A + B + C = 2 )
2. ( 4A + 2B + C = 5 )
3. ( 9A + 3B + C = 10 )

Вычтем первое уравнение из второго: [ (4A + 2B + C) - (A + B + C) = 5 - 2 ] [ 3A + B = 3 ] [ B = 3 - 3A ]

Теперь вычтем второе уравнение из третьего: [ (9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 10 - 5 ] [ 5A + B = 5 ]

Подставим ( B = 3 - 3A ) в уравнение ( 5A + B = 5 ): [ 5A + (3 - 3A) = 5 ] [ 5A + 3 - 3A = 5 ] [ 2A = 2 ] [ A = 1 ]

Теперь найдём ( B ): [ B = 3 - 3A ] [ B = 3 - 3 \cdot 1 ] [ B = 0 ]

Теперь найдём ( C ) подставив ( A ) и ( B ) в первое уравнение: [ A + B + C = 2 ] [ 1 + 0 + C = 2 ] [ C = 1 ]

Шаг 6: Запишем окончательную формулу

Таким образом, формула n-го члена последовательности: [ a_n = n^2 + 1 ]

Проверим полученную формулу на нескольких первых членах:

• ( a_1 = 1^2 + 1 = 2 )
• ( a_2 = 2^2 + 1 = 5 )
• ( a_3 = 3^2 + 1 = 10 )
• ( a_4 = 4^2 + 1 = 17 )
• ( a_5 = 5^2 + 1 = 26 )

Все значения совпадают, значит наша формула верна.