Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: -1 и 8

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями, можно воспользоваться свойством, что квадратное уравнение можно записать в виде:

[ y = a(x - x_1)(x - x_2) ]

где ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения, а ( a ) — ненулевое число, которое определяет коэффициенты уравнения. В данном случае ваши корни равны -1 и 8, то есть:

• ( x_1 = -1 )
• ( x_2 = 8 )

Подставим эти значения в формулу:

[ y = a(x - (-1))(x - 8) ]

Упрощаем:

[ y = a(x + 1)(x - 8) ]

Теперь раскроем скобки:

[ y = a[(x + 1)(x - 8)] ]

Выполним умножение:

[ y = a[x^2 - 8x + x - 8] ] [ y = a[x^2 - 7x - 8] ]

Теперь, если мы выберем ( a = 1 ) (что является стандартным выбором для простоты), то у нас получится:

[ y = x^2 - 7x - 8 ]

Таким образом, квадратное уравнение, корни которого равны -1 и 8, будет:

[ x^2 - 7x - 8 = 0 ]

Теперь мы можем проверить, действительно ли указанные корни удовлетворяют этому уравнению, подставив их обратно:

1. Проверим корень ( x = -1 ):

[ (-1)^2 - 7(-1) - 8 = 1 + 7 - 8 = 0 ]

1. Проверим корень ( x = 8 ):

[ 8^2 - 7 \cdot 8 - 8 = 64 - 56 - 8 = 0 ]

Оба корня действительно равны нулю, что подтверждает правильность составленного уравнения.

Таким образом, искомое квадратное уравнение — это:

[ x^2 - 7x - 8 = 0 ]

Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого равны (-1) и (8), воспользуемся обратным процессом от нахождения корней квадратного уравнения. Этот процесс основан на теореме Виета.

Общая форма квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид: [ ax^2 + bx + c = 0, ] где (a), (b) и (c) — коэффициенты уравнения.

Если корни квадратного уравнения известны ((x_1) и (x_2)), то:

1. Сумма корней равна коэффициенту при (x) с противоположным знаком: [ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}. ]

2. Произведение корней равно свободному члену, делённому на коэффициент (a): [ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}. ]

В данном случае корни (x_1 = -1) и (x_2 = 8).

Пошаговое составление уравнения

1. Сумма корней: [ x_1 + x_2 = -1 + 8 = 7. ] Это означает, что (b = -7a).

2. Произведение корней: [ x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 8 = -8. ] Это означает, что (c = -8a).

3. Подставляем значения (b) и (c) в общее уравнение: [ ax^2 + bx + c = 0 \implies ax^2 - 7ax - 8a = 0. ]

4. Упростим, разделив уравнение на (a) (если (a \neq 0)): [ x^2 - 7x - 8 = 0. ]

Ответ

Квадратное уравнение, корни которого равны (-1) и (8), имеет вид: [ x^2 - 7x - 8 = 0. ]

Проверка

Для проверки найдём корни уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81. ] Корни находятся по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставляем: [ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}. ] Получаем два корня: [ x_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8. ]

Корни совпадают с заданными ((-1) и (8)), значит, уравнение составлено правильно.