Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3 в точке с абсциссой x0=1. Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3 в точке с абсциссой x0=1. Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.
Уравнение касательной к графику функции y=x^3 в точке с абсциссой x0=1: y = 3x - 2
Точки графика функции y=x^3, касательные в которых параллельны найденной касательной: (1, 1), (-1, -1)
Для составления уравнения касательной к графику функции y=x^3 в точке x0=1, сначала найдем производную данной функции. Производная функции y=x^3 равна y'=3x^2. Теперь найдем значение производной в точке x=1: y'(1)=3*1^2=3.
Уравнение касательной к графику функции y=x^3 в точке x=1 будет иметь вид y-1=3(x-1), или y=3x-2.
Теперь найдем координаты всех точек графика функции y=x^3, касательные в которых параллельны найденной касательной. Для этого найдем общее уравнение касательной к графику функции y=x^3: y=3x+b, где b - произвольная константа.
Поскольку касательные параллельны, коэффициент наклона новой касательной будет также равен 3. Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=x^3, параллельной данной касательной, будет иметь вид y=3x+c.
Для того чтобы найти значение константы c, подставим координаты точки x0=1 в уравнение касательной к функции y=x^3: 3*1-2=1, то есть c=1.
Таким образом, координаты всех точек графика функции y=x^3, касательные в которых параллельны найденной касательной y=3x-2, будут иметь вид y=3x+1.
Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = x^3 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ), нужно выполнить несколько шагов:
Найти значение функции в точке ( x_0 = 1 ): [ y(1) = 1^3 = 1 ] Таким образом, точка касания имеет координаты ( (1, 1) ).
Найти производную функции ( y = x^3 ), чтобы определить угловой коэффициент касательной: [ y' = 3x^2 ] Теперь найдем значение производной в точке ( x_0 = 1 ): [ y'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 ] Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке ( (1, 1) ) равен 3.
Составить уравнение касательной: Уравнение касательной к графику функции в точке ( (x_0, y_0) ) с угловым коэффициентом ( k ) имеет вид: [ y - y_0 = k(x - x_0) ] Подставляем найденные значения ( x_0 = 1 ), ( y_0 = 1 ) и ( k = 3 ): [ y - 1 = 3(x - 1) ] Преобразуем это уравнение к стандартному виду: [ y - 1 = 3x - 3 ] [ y = 3x - 2 ] Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = x^3 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ) имеет вид: [ y = 3x - 2 ]
Найти координаты всех точек графика функции ( y = x^3 ), касательные в которых параллельны найденной касательной: Для этого нужно найти все точки, в которых производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть 3: [ y' = 3x^2 = 3 ] Решим это уравнение: [ 3x^2 = 3 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1 ] Мы получили два значения для ( x ): ( x = 1 ) и ( x = -1 ).
Найти значения функции в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ): [ y(1) = 1^3 = 1 ] [ y(-1) = (-1)^3 = -1 ] Таким образом, координаты точек, в которых касательные параллельны найденной касательной, это: [ (1, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -1) ]
Подытожим, уравнение касательной к графику функции ( y = x^3 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 1 ) имеет вид: [ y = 3x - 2 ] Координаты всех точек графика функции ( y = x^3 ), касательные в которых параллельны этой касательной, это: [ (1, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -1) ]
