Срочно найти модуль и аргумент комплексного числа z=√3+i

Чтобы найти модуль и аргумент комплексного числа ( z = \sqrt{3} + i ), давайте разберем решение по шагам.

1. Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) вычисляется по формуле: [ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, ] где ( a ) — действительная часть числа, а ( b ) — мнимая часть.

Для ( z = \sqrt{3} + i ):

• ( a = \sqrt{3} ),
• ( b = 1 ).

Подставляем значения в формулу: [ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}. ]

Выполним вычисления: [ |z| = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2. ]

Ответ: модуль числа ( |z| = 2 ).

2. Аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как угол ( \varphi ) в полярной системе координат, который число образует с положительным направлением оси ( x ). Он вычисляется по формуле: [ \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right), ] где ( \arctan ) — арктангенс, ( a \neq 0 ).

Для ( z = \sqrt{3} + i ):

• ( a = \sqrt{3} ),
• ( b = 1 ).

Подставляем значения: [ \varphi = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right). ]

Из тригонометрии известно, что: [ \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}. ]

Так как точка ( (\sqrt{3}, 1) ) лежит в первой четверти, аргумент равен: [ \varphi = \frac{\pi}{6}. ]

Ответ: аргумент числа ( \varphi = \frac{\pi}{6} ) (в радианах).

3. Итоговый ответ

Для комплексного числа ( z = \sqrt{3} + i ):

• Модуль: ( |z| = 2 ),
• Аргумент: ( \varphi = \frac{\pi}{6} ).

Если требуется записать ( z ) в тригонометрической форме, то: [ z = |z| \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi), ] то есть: [ z = 2 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right). ]

Чтобы найти модуль и аргумент комплексного числа ( z = \sqrt{3} + i ), нам нужно использовать определения модуля и аргумента комплексного числа.

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как:

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

где ( a ) — действительная часть, а ( b ) — мнимая часть комплексного числа.

Для нашего числа ( z = \sqrt{3} + i ):

• ( a = \sqrt{3} )
• ( b = 1 )

Теперь подставим значения в формулу для модуля:

[ |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 ]

Итак, модуль ( |z| = 2 ).

Аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа ( z ) — это угол ( \theta ), который оно образует с положительной осью действительных чисел в комплексной плоскости. Аргумент можно найти с помощью функции тангенса:

[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) ]

Для нашего числа:

[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

Зная, что ( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} ), мы можем заключить, что:

[ \theta = \frac{\pi}{6} ]

Поиск правильного квадранта

Теперь важно определить, в каком квадранте находится наше комплексное число. Так как ( a = \sqrt{3} > 0 ) и ( b = 1 > 0 ), то комплексное число находится в первом квадранте. Таким образом, аргумент:

[ \theta = \frac{\pi}{6} ]

Ответ

Итак, для комплексного числа ( z = \sqrt{3} + i ):

• Модуль: ( |z| = 2 )
• Аргумент: ( \theta = \frac{\pi}{6} )

Таким образом, мы можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

[ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6}\right) ]