Для решения данной системы уравнений:
- ( 3x - y = 10 )
- ( x^2 - y^2 = 20 - xy )
начнем с первого уравнения. Из него выразим ( y ):
[ y = 3x - 10. ]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:
[ x^2 - (3x - 10)^2 = 20 - x(3x - 10). ]
Раскроем скобки:
[ x^2 - (9x^2 - 60x + 100) = 20 - (3x^2 - 10x). ]
Упростим выражение:
[ x^2 - 9x^2 + 60x - 100 = 20 - 3x^2 + 10x. ]
Сгруппируем и упростим все члены:
[ -8x^2 + 60x - 100 = 20 - 3x^2 + 10x. ]
Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
[ -8x^2 + 60x - 100 + 3x^2 - 10x - 20 = 0. ]
Упростим еще раз:
[ -5x^2 + 50x - 120 = 0. ]
Для удобства умножим уравнение на -1:
[ 5x^2 - 50x + 120 = 0. ]
Разделим все на 5:
[ x^2 - 10x + 24 = 0. ]
Это квадратное уравнение, которое можно решить классическим методом, используя дискриминант:
Дискриминант ( D ) равен:
[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4. ]
Найдем корни уравнения:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2}.]
Получаем два корня:
[ x_1 = \frac{10 + 2}{2} = 6, ]
[ x_2 = \frac{10 - 2}{2} = 4. ]
Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого корня ( x ).
Для ( x = 6 ):
[ y = 3(6) - 10 = 18 - 10 = 8. ]
Для ( x = 4 ):
[ y = 3(4) - 10 = 12 - 10 = 2. ]
Таким образом, решение системы уравнений:
- ( (x, y) = (6, 8) )
- ( (x, y) = (4, 2) )
Эти пары являются решениями данной системы уравнений.