СРОЧНОО Второй член арифметической прогрессии аn равен 4 а шестой член равен 14. найти разность прогрессии

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением постоянного числа, называемого разностью прогрессии, к предыдущему члену.

Обозначим первый член прогрессии как ( a_1 ), а разность прогрессии как ( d ).

Согласно условию задачи, второй член прогрессии ( a_2 ) равен 4, а шестой член ( a_6 ) равен 14.

Формулы для членов арифметической прогрессии выглядят следующим образом:

• Второй член: [ a_2 = a_1 + d ]
• Шестой член: [ a_6 = a_1 + 5d ]

Теперь подставим известные значения в эти уравнения:

1. Из первого уравнения: [ a_1 + d = 4 \quad (1) ]

2. Из второго уравнения: [ a_1 + 5d = 14 \quad (2) ]

Теперь имеем систему из двух уравнений (1) и (2).

Из уравнения (1) выразим ( a_1 ): [ a_1 = 4 - d ]

Подставим это значение в уравнение (2): [ (4 - d) + 5d = 14 ]

Решим это уравнение: [ 4 - d + 5d = 14 ] [ 4 + 4d = 14 ] [ 4d = 14 - 4 ] [ 4d = 10 ] [ d = \frac{10}{4} = 2.5 ]

Таким образом, разность прогрессии ( d ) равна 2.5.

Теперь можем проверить, правильно ли мы нашли разность, подставив обратно в уравнения для ( a_1 ) и проверки членов прогрессии.

1. Найдем ( a_1 ): [ a_1 = 4 - d = 4 - 2.5 = 1.5 ]

2. Проверим второй член: [ a_2 = a_1 + d = 1.5 + 2.5 = 4 ] (верно)

3. Проверим шестой член: [ a_6 = a_1 + 5d = 1.5 + 5 \cdot 2.5 = 1.5 + 12.5 = 14 ] (верно)

Таким образом, все проверки подтвердили, что разность арифметической прогрессии равна ( d = 2.5 ).

Чтобы найти разность ( d ) арифметической прогрессии, воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

[ a_n = a_1 + (n - 1)d, ] где:

• ( a_n ) — ( n )-й член прогрессии,
• ( a_1 ) — первый член прогрессии,
• ( d ) — разность прогрессии,
• ( n ) — номер члена.

Дано:

• ( a_2 = 4 ) (второй член прогрессии равен 4),
• ( a_6 = 14 ) (шестой член прогрессии равен 14).

Нужно найти разность ( d ).

Шаг 1. Выразим второй член прогрессии через формулу:

Подставим ( n = 2 ) в формулу общего члена: [ a_2 = a_1 + (2 - 1)d = a_1 + d. ] Подставим ( a_2 = 4 ): [ 4 = a_1 + d. ] Это первое уравнение.

Шаг 2. Выразим шестой член прогрессии через формулу:

Подставим ( n = 6 ) в формулу: [ a_6 = a_1 + (6 - 1)d = a_1 + 5d. ] Подставим ( a_6 = 14 ): [ 14 = a_1 + 5d. ] Это второе уравнение.

Шаг 3. Решим систему уравнений:

Уравнения:

1. ( 4 = a_1 + d ),

2. ( 14 = a_1 + 5d ).

3. Из первого уравнения выразим ( a_1 ): [ a_1 = 4 - d. ]

4. Подставим ( a_1 = 4 - d ) во второе уравнение: [ 14 = (4 - d) + 5d. ] Раскроем скобки: [ 14 = 4 - d + 5d. ] Упростим: [ 14 = 4 + 4d. ] [ 14 - 4 = 4d. ] [ 10 = 4d. ] [ d = \frac{10}{4} = 2.5. ]

Шаг 4. Проверим результат:

1. Если ( d = 2.5 ), то из первого уравнения: [ a_1 = 4 - d = 4 - 2.5 = 1.5. ]

2. Проверим ( a_6 ): [ a_6 = a_1 + 5d = 1.5 + 5 \cdot 2.5 = 1.5 + 12.5 = 14. ] Результат верный.

Ответ:

Разность арифметической прогрессии ( d = 2.5 ).