сумма геометрической прогрессии (bn) равна 124, первый член прогрессии равен 31. найдите знаменатель прогрессии, пожалуйста
сумма геометрической прогрессии (bn) равна 124, первый член прогрессии равен 31. найдите знаменатель прогрессии, пожалуйста
Для решения задачи о нахождении знаменателя ( q ) геометрической прогрессии, когда известна сумма прогрессии ( S_n = 124 ) и первый член ( b_1 = 31 ), можно воспользоваться формулой суммы конечной геометрической прогрессии:
[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]
где:
Известно, что ( S_n = 124 ) и ( b_1 = 31 ). Подставим эти значения в формулу:
[ 124 = 31 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]
Теперь упростим уравнение:
[ 4 = \frac{q^n - 1}{q - 1} ]
Отсюда:
[ 4(q - 1) = q^n - 1 ]
[ 4q - 4 = q^n - 1 ]
[ q^n = 4q - 3 ]
Это уравнение требует нахождения значений ( q ) и ( n ), которые удовлетворяют данному уравнению. В общем случае для поиска этих значений можно использовать метод проб и ошибок или численные методы, так как аналитическое решение не всегда очевидно.
Для простоты предположим, что ( n = 2 ) (например, смотрим случай с двумя членами), и подставим это в уравнение:
[ q^2 = 4q - 3 ]
Перепишем уравнение как квадратное:
[ q^2 - 4q + 3 = 0 ]
Решим квадратное уравнение:
[ q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} ]
Получаем два корня:
[ q_1 = \frac{6}{2} = 3 ]
[ q_2 = \frac{2}{2} = 1 ]
Так как ( q = 1 ) не изменяет членов прогрессии (все члены равны первому), это решение не подходит для нетривиальной геометрической прогрессии. Таким образом, знаменатель прогрессии ( q ) равен 3.
Подтвердим решение, проверив, что сумма ( 31 + 31 \cdot 3 = 124 ):
[ S_2 = 31 + 93 = 124 ]
Таким образом, знаменатель прогрессии равен ( q = 3 ).
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой для суммы геометрической прогрессии:
[ S_n = \frac{a \cdot (1 - r^n)}{1 - r}, ]
где ( S_n ) - сумма первых n членов прогрессии, ( a ) - первый член прогрессии, ( r ) - знаменатель прогрессии.
У нас дано, что сумма прогрессии равна 124, первый член равен 31. Подставляем известные значения:
[ 124 = \frac{31 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}. ]
Далее, чтобы найти знаменатель прогрессии ( r ), нужно решить уравнение относительно него. Так как у нас в данной задаче неизвестно количество членов прогрессии ( n ), то решать данное уравнение будет несколько сложнее. Но можно воспользоваться методом подбора знаменателя ( r ), начиная с какого-то значения и увеличивая его постепенно, пока не получим сумму, близкую к 124.
Таким образом, решение данной задачи требует некоторых вычислений и метода проб и ошибок.
