Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 сантиметров а его гипотенуза 13 Найдите катеты треугольника

Для решения задачи найдем катеты прямоугольного треугольника, используя известные данные: сумма катетов равна 17 см, а гипотенуза равна 13 см.

Обозначим катеты ( a ) и ( b ). Согласно условию задачи, мы имеем следующие два уравнения:

1. ( a + b = 17 )
2. ( a^2 + b^2 = 13^2 = 169 )

Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ):

[ b = 17 - a ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ a^2 + (17 - a)^2 = 169 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ a^2 + (17^2 - 2 \cdot 17 \cdot a + a^2) = 169 ] [ a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169 ] [ 2a^2 - 34a + 289 = 169 ]

Переносим 169 в левую часть уравнения:

[ 2a^2 - 34a + 120 = 0 ]

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

[ a^2 - 17a + 60 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 ] [ D = 289 - 240 ] [ D = 49 ]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

[ a{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ a{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ a_{1,2} = \frac{17 \pm 7}{2} ]

Получаем два значения для ( a ):

[ a_1 = \frac{17 + 7}{2} = 12 ] [ a_2 = \frac{17 - 7}{2} = 5 ]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Проверим, соответствует ли это условию задачи:

Сумма катетов:

[ 12 + 5 = 17 ]

Гипотенуза:

[ \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 ]

Все условия выполнены, значит, катеты действительно равны 12 см и 5 см.

Пусть катеты треугольника равны а и b. Тогда по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = 13^2 a^2 + b^2 = 169

Также из условия задачи известно, что сумма катетов равна 17: a + b = 17

Теперь можно решить систему уравнений: a = 17 - b

Подставляем в уравнение Пифагора: (17 - b)^2 + b^2 = 169 289 - 34b + b^2 + b^2 = 169 2b^2 - 34b + 120 = 0 b^2 - 17b + 60 = 0 (b - 12)(b - 5) = 0

Из этого следует, что b = 12 или b = 5. Подставляем оба значения обратно в уравнение a = 17 - b:

a = 17 - 12 a = 5

a = 17 - 5 a = 12

Итак, катеты треугольника равны 5 и 12 сантиметров.