Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 10, а сумма шестого и десятого членов...

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d. Тогда второй член будет равен a + d, четвертый член будет равен a + 3d, шестой член будет равен a + 5d, а десятый член будет равен a + 9d.

Сумма второго и четвертого членов прогрессии равна 10: (a + d) + (a + 3d) = 10 2a + 4d = 10 a + 2d = 5 (1)

Сумма шестого и десятого членов прогрессии равна 25: (a + 5d) + (a + 9d) = 25 2a + 14d = 25 a + 7d = 12.5 (2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2): a + 2d = 5 a + 7d = 12.5

Выразим a из первого уравнения: a = 5 - 2d Подставим это значение во второе уравнение: 5 - 2d + 7d = 12.5 5 + 5d = 12.5 5d = 7.5 d = 1.5

Теперь найдем первый член прогрессии, подставив значение d в уравнение (1): a + 2*1.5 = 5 a + 3 = 5 a = 2

Итак, первый член арифметической прогрессии равен 2.

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии, нам нужно использовать информацию, данную в задаче, и применить формулы для членов арифметической прогрессии.

Пусть ( a ) — первый член прогрессии, а ( d ) — разность прогрессии.

Формула для ( n )-го члена арифметической прогрессии выглядит так: [ a_n = a + (n-1)d ]

Даны два условия:

1. Сумма второго и четвертого членов равна 10.
2. Сумма шестого и десятого членов равна 25.

Запишем эти условия с использованием формулы для ( n )-го члена:

1. Второй член: ( a_2 = a + d ) Четвертый член: ( a_4 = a + 3d ) Сумма второго и четвертого членов: [ a_2 + a_4 = (a + d) + (a + 3d) = 2a + 4d ] По условию задачи: [ 2a + 4d = 10 ]

2. Шестой член: ( a6 = a + 5d ) Десятый член: ( a{10} = a + 9d ) Сумма шестого и десятого членов: [ a6 + a{10} = (a + 5d) + (a + 9d) = 2a + 14d ] По условию задачи: [ 2a + 14d = 25 ]

Теперь у нас есть система двух уравнений: [ 2a + 4d = 10 ] [ 2a + 14d = 25 ]

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго: [ (2a + 14d) - (2a + 4d) = 25 - 10 ] [ 10d = 15 ] [ d = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} ]

Теперь подставим значение ( d ) в первое уравнение: [ 2a + 4 \left( \frac{3}{2} \right) = 10 ] [ 2a + 6 = 10 ] [ 2a = 10 - 6 ] [ 2a = 4 ] [ a = \frac{4}{2} = 2 ]

Итак, первый член прогрессии ( a ) равен 2.