Точка движетСя по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна v(t)=t +t^2. Найдите путь, пройденный...

Чтобы найти путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 секунд, необходимо вычислить определённый интеграл скорости ( v(t) = t + t^2 ) на заданном интервале от ( t = 1 ) до ( t = 3 ).

1. Запишем определённый интеграл: [ S = \int{1}^{3} v(t) \, dt = \int{1}^{3} (t + t^2) \, dt ]

2. Найдём антидериватив функции: Для нахождения интеграла отдельно проинтегрируем каждую часть: [ \int (t + t^2) \, dt = \int t \, dt + \int t^2 \, dt ] [ = \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + C ]

3. Подставим пределы интегрирования: Теперь подставим пределы ( t = 1 ) и ( t = 3 ): [ S = \left[ \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{3} ] Сначала найдём значение в верхнем пределе ( t = 3 ): [ \left( \frac{3^2}{2} + \frac{3^3}{3} \right) = \left( \frac{9}{2} + \frac{27}{3} \right) = \left( \frac{9}{2} + 9 \right) = \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = \frac{27}{2} ]

   Теперь найдём значение в нижнем пределе ( t = 1 ): [ \left( \frac{1^2}{2} + \frac{1^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right) = \frac{5}{6} ]

4. Вычтем значения: Теперь вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: [ S = \frac{27}{2} - \frac{5}{6} ]

   Для выполнения этого вычитания нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 6 равен 6: [ S = \frac{27 \cdot 3}{6} - \frac{5}{6} = \frac{81}{6} - \frac{5}{6} = \frac{81 - 5}{6} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3} ]

5. Запишем окончательный ответ: Путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 секунд, равен: [ S = \frac{38}{3} \text{ м} \approx 12.67 \text{ м} ]

Таким образом, путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 секунд, составляет ( \frac{38}{3} ) метров или примерно 12.67 метров.

Чтобы найти путь, пройденный точкой за определённый промежуток времени, нужно вычислить интеграл скорости ( v(t) ) на заданном интервале времени. В данном случае скорость задана функцией ( v(t) = t + t^2 ), а интервал времени — от ( t = 1 ) до ( t = 3 ).

Формула для пути:

Путь определяется как интеграл скорости: [ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt, ] где ( t_1 = 1 ), ( t_2 = 3 ), а ( v(t) = t + t^2 ).

Шаг 1. Запишем интеграл:

[ s = \int_{1}^{3} (t + t^2) \, dt. ]

Шаг 2. Разделим интеграл:

[ \int{1}^{3} (t + t^2) \, dt = \int{1}^{3} t \, dt + \int_{1}^{3} t^2 \, dt. ]

Шаг 3. Вычислим каждый из интегралов:

1. Найдём ( \int t \, dt ): [ \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C. ] На интервале от 1 до 3: [ \int{1}^{3} t \, dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]{1}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4. ]

2. Найдём ( \int t^2 \, dt ): [ \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C. ] На интервале от 1 до 3: [ \int{1}^{3} t^2 \, dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}. ]

Шаг 4. Сложим результаты:

Теперь сложим оба интеграла: [ s = \int{1}^{3} (t + t^2) \, dt = \int{1}^{3} t \, dt + \int_{1}^{3} t^2 \, dt = 4 + \frac{26}{3}. ]

Приведём к общему знаменателю: [ s = \frac{12}{3} + \frac{26}{3} = \frac{38}{3}. ]

Ответ:

Путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 секунд, равен: [ s = \frac{38}{3} \, \text{м} \quad \text{или примерно } 12.67 \, \text{м}. ]