Товарному поезду до города необходимо проехать 120 км. Отправление поезда задержалось на 2 ч. Чтобы...

Для решения этой задачи используем уравнения движения. Обозначим первоначально запланированную скорость поезда через ( v ) км/ч. Тогда время, которое поезд должен был потратить на путь в 120 км, составляет ( \frac{120}{v} ) часов.

Однако, поскольку отправление поезда задержалось на 2 часа, чтобы успеть вовремя, поезд увеличил свою скорость на 5 км/ч. Обозначим новую скорость поезда через ( v + 5 ) км/ч. В этом случае поезд преодолеет те же 120 км за время ( \frac{120}{v+5} ) часов.

Так как поезд должен прибыть в город вовремя, время в пути при увеличенной скорости должно быть равно времени в пути при первоначальной скорости минус 2 часа (из-за задержки). Запишем это уравнение:

[ \frac{120}{v+5} = \frac{120}{v} - 2 ]

Решим это уравнение для нахождения ( v ):

1. Приведем всё к общему знаменателю: [ \frac{120}{v+5} = \frac{120 - 2v(v+5)}{v(v+5)} ]

2. Умножим обе части уравнения на ( v(v+5) ) для избавления от дробей: [ 120v = 120(v+5) - 2v(v+5) ]

3. Раскроем скобки и упростим: [ 120v = 120v + 600 - 2v^2 - 10v ]

4. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 0 = 600 - 2v^2 - 10v ]

5. Упрощаем уравнение, разделив все члены на -2: [ v^2 + 5v - 300 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение ( v^2 + 5v - 300 = 0 ) с помощью формулы корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):

[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -300 ). Подставляем эти значения в формулу:

[ v = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300)}}{2 \cdot 1} ] [ v = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{2} ] [ v = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} ] [ v = \frac{-5 \pm 35}{2} ]

Рассмотрим два возможных значения для ( v ):

1. ( v = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15 )
2. ( v = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20 ) (этот вариант не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, первоначально запланированная скорость поезда должна была быть ( 15 ) км/ч.

Пусть V - первоначальная скорость поезда. Тогда время, которое поезд должен был потратить на проезд 120 км при скорости V, равно 120/V часов. Если поезд задержался на 2 часа и его скорость увеличили на 5 км/ч, то время в пути стало равно 120/(V+5) часов. Учитывая, что время в пути должно было остаться неизменным, получаем уравнение: 120/V = 120/(V+5) + 2 Решив это уравнение, найдем, что первоначально запланированная скорость поезда должна была быть 40 км/ч.

Пусть V - первоначальная запланированная скорость поезда, тогда время в пути до задержки составляло 120/V часов. После увеличения скорости на 5 км/ч, время в пути сократилось до 120/(V+5) часов.

Из условия задачи известно, что задержка составляла 2 часа. Тогда можно записать уравнение: 120/V - 120/(V+5) = 2

Решив это уравнение, найдем значение V - первоначальной запланированной скорости поезда.