Углы А,В и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:3:11. Найдите угол D, если около данного четырёхугольника...

Для начала определим сумму всех углов четырёхугольника ABCD. Поскольку сумма всех углов в четырёхугольнике равна 360°, то мы можем записать уравнение:

Угол A + Угол B + Угол C + Угол D = 360°

Также, учитывая, что углы А,В и С относятся как 7:3:11, мы можем записать:

Угол A = 7x, Угол B = 3x, Угол C = 11x

Где x - это коэффициент пропорциональности. Подставляем это в уравнение суммы углов:

7x + 3x + 11x + Угол D = 360°

21x + Угол D = 360°

Угол D = 360° - 21x

Теперь, поскольку около четырёхугольника можно описать окружность, то углы на диаметре окружности равны 90°. Таким образом, угол D равен 90°:

360° - 21x = 90° 21x = 270° x = 270° / 21 x = 12.85°

Угол D = 360° - 21 * 12.85° = 66.15°

Итак, угол D равен 66.15°.

Чтобы найти угол ( D ) в четырёхугольнике ( ABCD ), вокруг которого можно описать окружность, учтем следующее важное свойство: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180 градусам. Это следует из теоремы о вписанном четырёхугольнике.

1. Обозначим углы ( A, B ) и ( C ) как ( 7x, 3x ) и ( 11x ) соответственно, где ( x ) — некоторый коэффициент пропорциональности.

2. Так как ( ABCD ) — вписанный четырёхугольник, сумма его углов равна ( 360 ) градусам:

   [ A + B + C + D = 360^\circ ]

3. Подставим известные углы:

   [ 7x + 3x + 11x + D = 360^\circ ]

   [ 21x + D = 360^\circ ]

4. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна ( 180 ) градусам. Рассмотрим углы ( A ) и ( C ):

   [ A + C = 180^\circ ]

   [ 7x + 11x = 180^\circ ]

   [ 18x = 180^\circ ]

   [ x = 10^\circ ]

5. Теперь найдём углы ( A, B ) и ( C ):

   [ A = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ ]

   [ B = 3x = 3 \cdot 10^\circ = 30^\circ ]

   [ C = 11x = 11 \cdot 10^\circ = 110^\circ ]

6. Подставим найденные значения в уравнение для суммы углов:

   [ 70^\circ + 30^\circ + 110^\circ + D = 360^\circ ]

   [ 210^\circ + D = 360^\circ ]

   [ D = 360^\circ - 210^\circ ]

   [ D = 150^\circ ]

Итак, угол ( D ) равен ( 150 ) градусам.

Угол D равен 129 градусам, так как сумма противоположных углов в описанном вокруг четырёхугольника ABCD окружности равна 180°.