Укажите число корней уравнения tgx=-√3,которые лежат в промежутке [-π:2π]

Уравнение tgx=-√3 имеет 2 корня, которые лежат в промежутке [-π:2π].

Чтобы найти количество корней уравнения (\tan(x) = -\sqrt{3}) в заданном промежутке ([-π, 2π]), нужно учитывать основные свойства функции тангенса и периодичность её значений.

1. Основные свойства тангенса:

   • Функция (\tan(x)) имеет период (\pi), что означает, что (\tan(x + k\pi) = \tan(x)) для любого целого (k).
   • Тангенс принимает значение (-\sqrt{3}) при углах, которые соответствуют (x = -\frac{\pi}{3} + k\pi), где (k) - целое число. Это связано с тем, что (\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}).

2. Нахождение корней в данном промежутке:

   • Нам нужно найти такие значения (x = -\frac{\pi}{3} + k\pi), которые лежат в интервале ([-π, 2π]).

   Давайте определим границы для (k): [ -π \leq -\frac{\pi}{3} + k\pi \leq 2π ] Перепишем это неравенство: [ -π + \frac{\pi}{3} \leq k\pi \leq 2π + \frac{\pi}{3} ] [ -\frac{2\pi}{3} \leq k\pi \leq \frac{7\pi}{3} ] Разделим все части на (\pi): [ -\frac{2}{3} \leq k \leq \frac{7}{3} ]

   (k) должно быть целым числом, поэтому переберём целые значения (k) в этом интервале: [ k = 0, 1, 2 ]

3. Проверка найденных значений (k):

   • Для (k = 0): [ x = -\frac{\pi}{3} + 0\cdot\pi = -\frac{\pi}{3} ]
   • Для (k = 1): [ x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} ]
   • Для (k = 2): [ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} ]

Все три значения (-\frac{\pi}{3}), (\frac{2\pi}{3}), и (\frac{5\pi}{3}) лежат в промежутке ([-π, 2π]).

Таким образом, уравнение (\tan(x) = -\sqrt{3}) имеет три корня в заданном промежутке ([-π, 2π]).

Для нахождения корней уравнения tgx=-√3, необходимо найти углы, для которых тангенс равен -√3. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому tgx=-√3 эквивалентно sinx/cosx=-√3. Решая уравнение sinx=-√3*cosx, получаем x=-π/3 и x=2π/3.

Таким образом, уравнение tgx=-√3 имеет два корня, которые лежат в промежутке [-π:2π]: x=-π/3 и x=2π/3.