Укажите число корней уравнения tgx=-√3,которые лежат в промежутке $-\pi :2\pi$

Уравнение tgx=-√3 имеет 2 корня, которые лежат в промежутке $-\pi :2\pi$.

Чтобы найти количество корней уравнения $\tan (x$ = -\sqrt{3}) в заданном промежутке $[-\pi ,2\pi ]$, нужно учитывать основные свойства функции тангенса и периодичность её значений.

1. Основные свойства тангенса:

   • Функция $\tan (x$) имеет период $\pi$, что означает, что $\tan (x+k\pi$ = \tan$x$) для любого целого $k$.
   • Тангенс принимает значение $-\sqrt{3}$ при углах, которые соответствуют $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, где $k$ - целое число. Это связано с тем, что $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = -\sqrt{3}).

2. Нахождение корней в данном промежутке:

   • Нам нужно найти такие значения $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, которые лежат в интервале $[-\pi ,2\pi ]$.

   Давайте определим границы для $k$: $-\pi \le -\frac{\pi }{3}+k\pi \le 2\pi$ Перепишем это неравенство: $-\pi +\frac{\pi }{3}\le k\pi \le 2\pi +\frac{\pi }{3}$ $-\frac{2\pi }{3}\le k\pi \le \frac{7\pi }{3}$ Разделим все части на $\pi$: $-\frac{2}{3}\le k\le \frac{7}{3}$

   $k$ должно быть целым числом, поэтому переберём целые значения $k$ в этом интервале: $k=0,1,2$

3. Проверка найденных значений $k$:

   • Для $k=0$: $x=-\frac{\pi }{3}+0\cdot \pi =-\frac{\pi }{3}$
   • Для $k=1$: $x=-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$
   • Для $k=2$: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$

Все три значения $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, и $\frac{5\pi }{3}$ лежат в промежутке $[-\pi ,2\pi ]$.

Таким образом, уравнение $\tan (x$ = -\sqrt{3}) имеет три корня в заданном промежутке $[-\pi ,2\pi ]$.

Для нахождения корней уравнения tgx=-√3, необходимо найти углы, для которых тангенс равен -√3. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому tgx=-√3 эквивалентно sinx/cosx=-√3. Решая уравнение sinx=-√3*cosx, получаем x=-π/3 и x=2π/3.

Таким образом, уравнение tgx=-√3 имеет два корня, которые лежат в промежутке $-\pi :2\pi$: x=-π/3 и x=2π/3.