Упростить выражение 1+2sina cosa/sin a +cos a

Чтобы упростить выражение ( \frac{1 + 2 \sin a \cos a}{\sin a + \cos a} ), воспользуемся тригонометрическими идентичностями.

1. Заметим, что ( 2 \sin a \cos a = \sin(2a) ).
2. Заменим ( 1 ) на ( \sin^2 a + \cos^2 a ) (по основному тригонометрическому тождеству).

Таким образом, выражение можно переписать как:

[ \frac{\sin^2 a + \cos^2 a + \sin(2a)}{\sin a + \cos a} ]

Далее, это выражение можно упростить, но конечный результат будет зависеть от специфических значений ( a ). В общем случае, дальнейшее упрощение не приводит к более простому виду без дополнительных условий на ( a ).

Упростим данное выражение:

[ 1 + \frac{2 \sin a \cos a}{\sin a + \cos a}. ]

Шаг 1. Вспомним важные тригонометрические тождества

• Одно из основных тождеств: ( 2 \sin a \cos a = \sin 2a ).
• Также заметим, что выражения ( \sin a ) и ( \cos a ) не могут одновременно равняться нулю, иначе знаменатель ( \sin a + \cos a ) обращается в ноль, что недопустимо.

Итак, перепишем дробь, используя тождество:

[ \frac{2 \sin a \cos a}{\sin a + \cos a} = \frac{\sin 2a}{\sin a + \cos a}. ]

Теперь выражение становится:

[ 1 + \frac{\sin 2a}{\sin a + \cos a}. ]

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Для удобства сложения приведем выражение к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен ( \sin a + \cos a ). Поэтому ( 1 ) можно записать как:

[ 1 = \frac{\sin a + \cos a}{\sin a + \cos a}. ]

Теперь наше выражение выглядит так:

[ 1 + \frac{\sin 2a}{\sin a + \cos a} = \frac{\sin a + \cos a}{\sin a + \cos a} + \frac{\sin 2a}{\sin a + \cos a}. ]

Объединим дроби:

[ \frac{\sin a + \cos a + \sin 2a}{\sin a + \cos a}. ]

Шаг 3. Итоговое упрощение

Числитель выражения:

[ \sin a + \cos a + \sin 2a. ]

Подставим вместо ( \sin 2a ) его эквивалент ( 2 \sin a \cos a ):

[ \sin a + \cos a + 2 \sin a \cos a. ]

Здесь уже нет очевидных способов дальнейшего упрощения. Поэтому итоговое выражение:

[ \frac{\sin a + \cos a + \sin 2a}{\sin a + \cos a}. ]

Ответ:

[ \boxed{\frac{\sin a + \cos a + \sin 2a}{\sin a + \cos a}}. ]

Для упрощения выражения ( \frac{1 + 2 \sin a \cos a}{\sin a + \cos a} ), воспользуемся тригонометрическими идентичностями и алгебраическими преобразованиями.

1. Начнем с числителя. Заметим, что ( 2 \sin a \cos a ) можно заменить на ( \sin(2a) ) по формуле удвоенного угла: [ 2 \sin a \cos a = \sin(2a). ] Тогда числитель будет выглядеть следующим образом: [ 1 + 2 \sin a \cos a = 1 + \sin(2a). ]

2. Теперь у нас есть выражение: [ \frac{1 + \sin(2a)}{\sin a + \cos a}. ]

3. Теперь рассмотрим знаменатель. Мы оставим его без изменений, но можем попробовать упростить всё выражение в целом.

4. Чтобы упростить, мы попробуем сделать замену на ( x = \sin a + \cos a ). Тогда, используя известные равенства, можно выразить: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \sin^2 a + \cos^2 a = x^2 - 2 \sin a \cos a = 1, ] что дает ( \sin a \cos a = \frac{1 - x^2}{2} ).

5. Обратим внимание на числитель: [ 1 + 2 \sin a \cos a = 1 + (1 - x^2) = 2 - x^2. ]

6. Таким образом, наше выражение можно записать как: [ \frac{2 - x^2}{x}. ]

7. Теперь упростим это выражение: [ \frac{2 - x^2}{x} = \frac{2}{x} - x. ]

8. В итоге, мы получаем финальное упрощенное выражение: [ \frac{2}{\sin a + \cos a} - (\sin a + \cos a). ]

Это и есть упрощенное выражение для исходного.