Упростить выражение: уменьшаемое числитель корень из 5 минус корень из 3, знаменатель корень из 5 плюс...

Для упрощения данного выражения сначала объединим числители и знаменатели дробей. Получим:

((√5 - √3) / (√5 + √3)) - ((√5 + √3) / (√5 - √3))

Сначала умножим числитель и знаменатель первой дроби на (√5 - √3), а второй на (√5 + √3), чтобы избавиться от знаменателей в обеих дробях:

((√5 - √3)^2 - (√5 + √3)^2) / ((√5 + √3)(√5 - √3) - (√5 - √3)(√5 + √3))

Раскроем квадраты в числителе:

(5 - 2√15 + 3 - 5 - 2√15 - 3) / (5 - 3 - 5 + 3)

Упростим числитель и знаменатель:

(-4√15) / (-2)

Итак, упрощенное выражение равно 2√15.

Давайте упростим выражение, которое представляет собой разность двух дробей:

[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} ]

Для начала преобразуем каждую дробь путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Это позволит нам избавиться от иррациональности в знаменателе.

1. Преобразуем первую дробь:

[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} ]

В числителе получаем квадрат разности:

[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} ]

В знаменателе получаем разность квадратов:

[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2 ]

Таким образом, первая дробь преобразуется в:

[ \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15} ]

1. Преобразуем вторую дробь:

[ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} ]

В числителе получаем квадрат суммы:

[ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} ]

В знаменателе снова получаем разность квадратов:

[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2 ]

Таким образом, вторая дробь преобразуется в:

[ \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15} ]

Теперь мы можем вычесть вторую дробь из первой:

[ (4 - \sqrt{15}) - (4 + \sqrt{15}) ]

Раскроем скобки и упростим:

[ 4 - \sqrt{15} - 4 - \sqrt{15} = -2\sqrt{15} ]

Итак, окончательное упрощенное выражение:

[ -2\sqrt{15} ]