упростить вырожение 1 / tga + Sina / 1 + cos a
упростить вырожение 1 / tga + Sina / 1 + cos a
Чтобы упростить выражение ( \frac{1}{\tan a} + \frac{\sin a}{1 + \cos a} ), нужно воспользоваться тригонометрическими идентичностями и преобразованиями.
Разберём первую часть выражения: ( \frac{1}{\tan a} ).
Напомним, что тангенс угла ( a ) определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Следовательно, обратная величина для тангенса будет: [ \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a} ]
Разберём вторую часть выражения: ( \frac{\sin a}{1 + \cos a} ).
Здесь можно воспользоваться тригонометрическим преобразованием, известным как "рационализация", чтобы упростить эту дробь. Мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение ( 1 - \cos a ): [ \frac{\sin a}{1 + \cos a} \times \frac{1 - \cos a}{1 - \cos a} = \frac{\sin a (1 - \cos a)}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)} ] Знаменатель здесь представляет собой разность квадратов, и упрощается до: [ (1 + \cos a)(1 - \cos a) = 1 - \cos^2 a = \sin^2 a ] Таким образом, выражение становится: [ \frac{\sin a (1 - \cos a)}{\sin^2 a} = \frac{\sin a - \sin a \cos a}{\sin^2 a} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} ]
Теперь сложим упрощённые дроби:
[ \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{1 - \cos a}{\sin a} = \frac{\cos a + 1 - \cos a}{\sin a} = \frac{1}{\sin a} ]
Поскольку результатом является обратная величина синуса, мы можем записать итоговое упрощённое выражение в виде: [ \csc a ]
Таким образом, упрощённое выражение равно ( \csc a ).
Для упрощения данного выражения необходимо привести все члены к общему знаменателю и сложить их.
1) Преобразуем 1 / tg a в виде sin a / cos a, так как tg a = sin a / cos a. 2) Раскроем скобки в выражении sin a / (1 + cos a). 3) Приведем все выражения к общему знаменателю cos a: (sin a cos a) / (cos a cos a) + sin a / (cos a + cos a cos a). 4) Сократим знаменатели: sin a + sin a cos a / cos a + cos a sin a / cos a. 5) Упростим: (sin a (1 + cos a) + cos a sin a) / cos a. 6) Сложим числители: (sin a + sin a cos a + cos a sin a) / cos a. 7) Упростим: 2 sin a + sin a * cos a / cos a.
Таким образом, упрощенное выражение будет 2 sin a + sin a cos a / cos a.
