Упростите плиз 4/y - 2/y-5 + 2y+10/25-y^2

Для упрощения выражения ( \frac{4}{y} - \frac{2}{y-5} + \frac{2y+10}{25-y^2} ), начнем с рассмотрения каждого члена.

1. Преобразуем третий член:

   • Заметим, что (25 - y^2) можно переписать как разность квадратов, ( (5-y)(5+y) ).
   • Также заметим, что (2y + 10) можно представить как (2(y + 5)).

   Теперь третье слагаемое примет вид: [ \frac{2(y+5)}{(5-y)(5+y)}. ] Заменим (5 - y) на (-(y - 5)), получим: [ \frac{2(y+5)}{-(y-5)(5+y)} = -\frac{2(y+5)}{(y-5)(5+y)}. ]

2. Теперь у нас есть: [ \frac{4}{y} - \frac{2}{y-5} - \frac{2(y+5)}{(y-5)(5+y)}. ]

3. Для упрощения сложим первые два слагаемых в общий знаменатель: [ \frac{4(y-5) - 2y}{y(y-5)}. ] Раскроем скобки и упростим числитель: [ \frac{4y - 20 - 2y}{y(y-5)} = \frac{2y - 20}{y(y-5)} = \frac{2(y-10)}{y(y-5)}. ]

4. Теперь сложим результат с третьим слагаемым: [ \frac{2(y-10)}{y(y-5)} - \frac{2(y+5)}{(y-5)(5+y)}. ]

   Оба выражения уже имеют общий знаменатель (y(y-5)(5+y)), так что просто сложим числители: [ \frac{2(y-10) - 2(y+5)}{y(y-5)(5+y)} = \frac{2y - 20 - 2y - 10}{y(y-5)(5+y)} = \frac{-30}{y(y-5)(5+y)}. ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до: [ -\frac{30}{y(y-5)(5+y)}. ]

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого вычислим НОК знаменателей каждой дроби: y, y-5, и 25-y^2.

Заметим, что 25-y^2 можно представить в виде (5+y)(5-y), что позволит нам привести его к общему знаменателю с другими дробями.

Итак, приведем все дроби к общему знаменателю: 4/y = (4(5-y))/(y(5-y)) = (20-4y)/(y(5-y)), 2/y-5 = (2(5-y))/(y-5)(5-y) = (10-2y)/(y(5-y)), 2y+10/25-y^2 = (2y+10)/((5+y)(5-y)).

Теперь, сложим все дроби: (20-4y)/(y(5-y)) - (10-2y)/(y(5-y)) + (2y+10)/((5+y)(5-y)) = (20-4y-(10-2y))/(y(5-y)) + (2y+10)/((5+y)(5-y)) = (10-2y)/(y(5-y)) + (2y+10)/((5+y)(5-y)).

Полученное выражение уже упрощено до максимума.