Упростите пожалуйста log5 3 - log5 15 + log3 5

Чтобы упростить выражение ( \log_5 3 - \log_5 15 + \log_3 5 ), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойства логарифмов:

   • Разность логарифмов: ( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) )
   • Сумма логарифмов: ( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) )
   • Изменение основания логарифма: ( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} )

2. Упрощаем первое и второе слагаемое: [ \log_5 3 - \log_5 15 = \log_5 \left( \frac{3}{15} \right) = \log_5 \left( \frac{1}{5} \right) ] Заметим, что ( \frac{1}{5} = 5^{-1} ), тогда [ \log_5 \left( \frac{1}{5} \right) = \log_5 (5^{-1}) = -1 ]

3. Теперь добавим третье слагаемое: [ -1 + \log_3 5 ]

4. Изменим основание логарифма во втором слагаемом: [ \log_3 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 3} = \frac{1}{\log_5 3} ]

5. Теперь подставим ( \log_3 5 ) обратно в выражение: [ -1 + \frac{1}{\log_5 3} ]

Таким образом, окончательный упрощённый вид выражения: [ -1 + \frac{1}{\log_5 3} ]

Если необходимо, это можно оставить в данной форме, либо выразить в виде единого дробного выражения. Однако базовое упрощение уже завершено.

Упростим выражение ( \log_5 3 - \log_5 15 + \log_3 5 ).

Для начала воспользуемся свойствами логарифмов:

1. Свойство вычитания логарифмов: [ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}. ] Применим это свойство к первым двум логарифмам: [ \log_5 3 - \log_5 15 = \log_5 \frac{3}{15}. ] Упростим дробь (\frac{3}{15}): [ \frac{3}{15} = \frac{1}{5}. ] Таким образом, [ \log_5 3 - \log_5 15 = \log_5 \frac{1}{5}. ]

2. Свойство логарифма дроби: [ \log_a \frac{1}{b} = -\log_a b. ] Применим это свойство: [ \log_5 \frac{1}{5} = -\log_5 5. ] Логарифм числа по основанию самого числа равен 1: [ \log_5 5 = 1. ] Следовательно, [ \log_5 \frac{1}{5} = -1. ]

Теперь выражение принимает вид: [ -1 + \log_3 5. ]

1. Обратим внимание на (\log_3 5). Для работы с этим логарифмом можно воспользоваться формулой перехода к новому основанию: [ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}. ] Выразим (\log_3 5) через логарифмы по основанию 5: [ \log_3 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 3}. ] Мы знаем, что (\log_5 5 = 1), поэтому: [ \log_3 5 = \frac{1}{\log_5 3}. ]

Теперь подставим всё обратно в исходное выражение: [ \log_5 3 - \log_5 15 + \log_3 5 = -1 + \frac{1}{\log_5 3}. ]

Итак, окончательный ответ: [ \boxed{-1 + \frac{1}{\log_5 3}} ]