Упростите выражения a) tg a ctg a - sin^2 a б) cos^2a-1/cos^2a

Давайте подробно разберем оба выражения и упростим их.

a) ( \tg a \cdot \ctg a - \sin^2 a )

Шаг 1: Запишем определения тангенса и котангенса

[ \tg a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \ctg a = \frac{\cos a}{\sin a}. ] При умножении этих двух функций: [ \tg a \cdot \ctg a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1. ]

Таким образом, первая часть выражения ( \tg a \cdot \ctg a ) равна 1.

Шаг 2: Подставим результат в выражение

Теперь заменим ( \tg a \cdot \ctg a ) на 1 в исходном выражении: [ \tg a \cdot \ctg a - \sin^2 a = 1 - \sin^2 a. ]

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

Одно из основных тригонометрических тождеств гласит: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ] Отсюда: [ 1 - \sin^2 a = \cos^2 a. ]

Окончательный результат для пункта (а):

[ \tg a \cdot \ctg a - \sin^2 a = \cos^2 a. ]

б) ( \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} )

Шаг 1: Вынесем числитель

Числитель выражения ( \cos^2 a - 1 ) можно переписать как ( -(1 - \cos^2 a) ): [ \cos^2 a - 1 = -(1 - \cos^2 a). ]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество

Согласно тождеству ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ), имеем: [ 1 - \cos^2 a = \sin^2 a. ] Тогда: [ \cos^2 a - 1 = -\sin^2 a. ]

Шаг 3: Подставим в выражение

Теперь выражение превращается в: [ \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = \frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a}. ]

Шаг 4: Упростим дробь

Распишем дробь: [ \frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a} = -\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}. ] Так как ( \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a ) (по определению тангенса), то: [ -\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = -\tg^2 a. ]

Окончательный результат для пункта (б):

[ \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = -\tg^2 a. ]

Итоговые ответы:

a) ( \tg a \cdot \ctg a - \sin^2 a = \cos^2 a ),
б) ( \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = -\tg^2 a ).

Давайте упростим оба выражения по очереди.

a) ( \tan a \cdot \cot a - \sin^2 a )

Для начала вспомним определения тригонометрических функций:

• ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} )
• ( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} )

Теперь подставим эти определения в выражение:

[ \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} ]

При умножении ( \sin a ) и ( \cos a ) сокращаются:

[ \tan a \cdot \cot a = 1 ]

Теперь подставим это в исходное выражение:

[ \tan a \cdot \cot a - \sin^2 a = 1 - \sin^2 a ]

Согласно основному тригонометрическому тождеству ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ), мы можем выразить ( \cos^2 a ) через ( \sin^2 a ):

[ 1 - \sin^2 a = \cos^2 a ]

Таким образом, окончательный ответ для первого выражения:

[ \tan a \cdot \cot a - \sin^2 a = \cos^2 a ]

б) ( \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} )

Для упрощения этого выражения воспользуемся тождеством ( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 ). Из этого тождества можем выразить ( \cos^2 a ):

[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a ]

Подставим это в выражение:

[ \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = \frac{(1 - \sin^2 a) - 1}{\cos^2 a} ]

Сократим:

[ = \frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

Теперь мы можем выразить ( \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ) как ( \tan^2 a ):

[ = -\tan^2 a ]

Таким образом, окончательный ответ для второго выражения:

[ \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = -\tan^2 a ]

Итоговые ответы:

a) ( \tan a \cdot \cot a - \sin^2 a = \cos^2 a )

б) ( \frac{\cos^2 a - 1}{\cos^2 a} = -\tan^2 a )