Упростите выражение 1/x+2 + 2/x^2- 2x - 4/4-x^2

Для упрощения выражения ( \frac{1}{x+2} + \frac{2}{x^2 - 2x} - \frac{4}{4 - x^2} ), следуем следующим шагам:

1. Факторизация знаменателей:

   • Знаменатель первого дроби ( x+2 ) уже является простым.
   • Знаменатель второй дроби ( x^2 - 2x ) можно факторизовать: [ x^2 - 2x = x(x - 2) ]
   • Знаменатель третьей дроби ( 4 - x^2 ) является разностью квадратов: [ 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) ]

2. Приведение знаменателей к общему виду:

   Для удобства далее, заметим, что ( 4 - x^2 = (2 + x)(2 - x) ) == ((x + 2)(x - 2)), чтобы иметь более удобный вид знаменателя.

3. Приведение к общему знаменателю:

   Общий знаменатель для всех трех дробей будет ( (x + 2)(x - 2) ).

   Переписываем каждую дробь с общим знаменателем:

   • Первая дробь: [ \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x - 2}{(x+2)(x-2)} ]
   • Вторая дробь: [ \frac{2}{x^2 - 2x} = \frac{2}{x(x - 2)} = \frac{2 \cdot (2 + x)}{(x \cdot (x - 2))(2 + x)} = \frac{2 \cdot (2 + x)}{(x+2)(x-2)} ]
   • Третья дробь: [ \frac{4}{4 - x^2} = \frac{4}{(x+2)(x-2)} ]

4. Сложение дробей:

   Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, складываем их числители: [ \frac{x - 2}{(x+2)(x-2)} + \frac{2 \cdot (2 + x)}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x-2) + 2(2+x) - 4}{(x+2)(x-2)} ]

5. Упрощение числителя:

   Упрощаем числитель, раскрывая скобки и приводя подобные члены: [ (x - 2) + 2(2 + x) - 4 = x - 2 + 4 + 2x - 4 = 3x - 2 ]

6. Получаем дробь:

   [ \frac{3x - 2}{(x+2)(x-2)} ]

Таким образом, упрощенное выражение: [ \frac{3x - 2}{(x+2)(x-2)} ]

Это выражение является результатом упрощения исходного выражения.

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и сложить их.

1) Приведем каждую дробь к общему знаменателю: 1/x + 2 = (2 + x)/x 2/x^2 - 2x = 2/(x^2) - 2x = 2 - 2x^3/(x^2) 4/4 - x^2 = 1 - x^2/4

2) Теперь объединим все дроби: (2 + x)/x + 2 - 2x^3/(x^2) + 1 - x^2/4 = (2 + x)/x + 3 - 2x^3/(x^2) - x^2/4

3) Для упрощения общего выражения можно умножить и разделить на x: (2 + x)/x + 3 - 2x^3/(x^2) - x^2/4 = 2/x + 1 + 3 - 2x/x^2 - x^2/4 = 2/x + 4 - 2/x - x^2/4 = 4 - x^2/4

Таким образом, упрощенное выражение равно 4 - x^2/4.