Упростите выражение (a+1)(a-1)(a^2+1)-(9+a^2)^2 и найдите его значение при а=1/3.

Чтобы упростить выражение ((a+1)(a-1)(a^2+1) - (9 + a^2)^2), сначала разберемся с каждой частью отдельно.

1. Упростим выражение ((a+1)(a-1)(a^2+1)): [ (a+1)(a-1) = a^2 - 1 ] Это разность квадратов. В итоге, имеем: [ (a^2 - 1)(a^2 + 1) ] Теперь раскроем скобки: [ (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot 1 - 1 \cdot a^2 - 1 \cdot 1 = a^4 + a^2 - a^2 - 1 = a^4 - 1 ]

2. Теперь упростим выражение ((9 + a^2)^2): [ (9 + a^2)^2 = (9 + a^2)(9 + a^2) ] Используем формулу квадрата суммы: [ (9 + a^2)^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 81 + 18a^2 + a^4 ]

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное: [ a^4 - 1 - (81 + 18a^2 + a^4) ] Раскроем скобки и упростим: [ a^4 - 1 - 81 - 18a^2 - a^4 ] Сгруппируем похожие члены: [ a^4 - a^4 - 1 - 81 - 18a^2 = -82 - 18a^2 ]

Таким образом, упрощенное выражение: [ (a+1)(a-1)(a^2+1) - (9 + a^2)^2 = -82 - 18a^2 ]

Теперь найдем значение этого выражения при (a = \frac{1}{3}): [ -82 - 18 \left( \frac{1}{3} \right)^2 ] Вычислим квадрат (\frac{1}{3}): [ \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} ] Теперь подставим это значение: [ -82 - 18 \cdot \frac{1}{9} ] Упростим: [ 18 \cdot \frac{1}{9} = 2 ] Таким образом, получаем: [ -82 - 2 = -84 ]

Ответ: При (a = \frac{1}{3}) значение выражения равно (-84).

Для упрощения данного выражения сначала раскроем скобки:

(a+1)(a-1)(a^2+1) = a^3 - a + a^2 - 1

Теперь упростим вторую часть выражения:

(9 + a^2)^2 = (9 + a^2)(9 + a^2) = 81 + 18a^2 + a^4

Теперь подставим значение a=1/3:

a^3 - a + a^2 - 1 = (1/27) - (1/3) + (1/9) - 1 = -26/27

(81 + a^2)^2 = 81 + (1/9) + 81 = 82

Теперь вычтем одно выражение из другого:

-26/27 - 82 = -26/27 - 82 = -26 26/27

Таким образом, значение данного выражения при a=1/3 равно -26 26/27.

Краткий ответ: При упрощении данного выражения получаем -32/27.