Упростите выражение: ( х+у/х-у - х-у/х+у ) : ху/х2-у2
Упростите выражение: ( х+у/х-у - х-у/х+у ) : ху/х2-у2
Для начала упростим данное выражение шаг за шагом. Выражение, которое нужно упростить:
[ \left(\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y}\right) : \frac{xy}{x^2-y^2} ]
[ \frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{(x-y)(x+y)} ]
Раскроем квадраты в числителе:
[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, \quad (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ]
Таким образом:
[ (x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy ]
Подставим в выражение:
[ \frac{4xy}{(x-y)(x+y)} ]
Заметим, что знаменатель можно представить как разность квадратов:
[ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 ]
Таким образом:
[ \frac{4xy}{x^2-y^2} ]
[ \frac{4xy}{x^2-y^2} : \frac{xy}{x^2-y^2} = \frac{4xy}{x^2-y^2} \cdot \frac{x^2-y^2}{xy} ]
Здесь дроби упрощаются, и мы получаем:
[ \frac{4xy \cdot (x^2-y^2)}{xy \cdot (x^2-y^2)} = \frac{4xy}{xy} = 4 ]
Итак, упрощенное выражение равно:
[ 4 ]
Для упрощения данного выражения нужно преобразовать его сначала в общий знаменатель, затем упростить числитель и знаменатель отдельно, и в конце сократить подобные члены.
Для упрощения данного выражения сначала найдем общий знаменатель в числителе и знаменателе дроби. Исходное выражение: ( (х+у)/(х-у) - (х-у)/(х+у) ) : (ху/(х^2-у^2))
1) Найдем общий знаменатель в числителе: Для первой дроби: (х+у)/(х-у) (х+у)/(х+у) = (x^2 + 2xy + y^2) / (x^2 - y^2) Для второй дроби: (х-у)/(х+у) (х-у)/(х-у) = (x^2 - 2xy + y^2) / (x^2 - y^2)
2) Подставим найденные дроби в исходное выражение: ((x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)) / (x^2 - y^2) : (ху/(х^2-у^2)) (4xy) / (x^2 - y^2) : (ху/(х^2-у^2))
3) Упростим дробь в числителе: (4xy) / (x^2 - y^2) = 4xy / ((x+y)(x-y))
Таким образом, упрощенное выражение будет: 4xy / ((x+y)(x-y)) : (ху/(х^2-у^2))
