Упростите выражение m/m^2-2m+1 - m+2/m^2+m-2

Чтобы упростить выражение

[ \frac{m}{m^2 - 2m + 1} - \frac{m+2}{m^2 + m - 2}, ]

начнем с факторизации знаменателей.

1. Рассмотрим первый знаменатель: (m^2 - 2m + 1). Это квадрат разности, что можно записать как ((m - 1)^2).

2. Рассмотрим второй знаменатель: (m^2 + m - 2). Мы ищем два числа, которые в произведении дают (-2), а в сумме (1). Это числа (2) и (-1), поэтому знаменатель можно представить как ((m + 2)(m - 1)).

Теперь перепишем исходное выражение с учётом факторизации:

[ \frac{m}{(m - 1)^2} - \frac{m+2}{(m + 2)(m - 1)}. ]

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет ((m - 1)^2(m + 2)).

Перепишем каждую дробь с общим знаменателем:

1. Первая дробь:

[ \frac{m}{(m - 1)^2} = \frac{m(m + 2)}{(m - 1)^2(m + 2)}. ]

1. Вторая дробь:

[ \frac{m+2}{(m + 2)(m - 1)} = \frac{(m + 2)(m - 1)}{(m - 1)^2(m + 2)}. ]

Теперь мы можем вычесть дроби:

[ \frac{m(m + 2) - (m + 2)(m - 1)}{(m - 1)^2(m + 2)}. ]

Раскроем скобки в числителе:

1. (m(m + 2) = m^2 + 2m).

2. ((m + 2)(m - 1) = m^2 - m + 2m - 2 = m^2 + m - 2).

Теперь вычитаем второй результат из первого:

[ (m^2 + 2m) - (m^2 + m - 2) = m^2 + 2m - m^2 - m + 2 = m + 2. ]

Итак, числитель упрощается до (m + 2).

Теперь у нас:

[ \frac{m + 2}{(m - 1)^2(m + 2)}. ]

Сократим дробь, убрав общий множитель ((m + 2)) из числителя и знаменателя:

[ \frac{1}{(m - 1)^2}. ]

Таким образом, упрощенное выражение:

[ \frac{1}{(m - 1)^2}. ]

Для упрощения данного выражения, сначала необходимо провести операции с дробями.

Для первого слагаемого: m / (m^2 - 2m + 1) = m / (m - 1)^2 = 1 / (m - 1)

Для второго слагаемого: -(m + 2) / (m^2 + m - 2) = -(m + 2) / (m + 2)(m - 1) = -1 / (m - 1)

Итак, после упрощения получаем: 1 / (m - 1) - 1 / (m - 1) = 0

Таким образом, данное выражение равно нулю.