Упростите выражение Sin 2a/1+cos 2a

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тригонометрического тождества: sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Преобразуем выражение: sin^2(a) / (1 + cos^2(a))

Теперь заменим sin^2(a) на 1 - cos^2(a) (согласно формуле тригонометрического тождества): (1 - cos^2(a)) / (1 + cos^2(a))

Далее разложим числитель: 1 - cos^2(a) = (1 + cos(a))(1 - cos(a))

Подставим это обратно в исходное выражение: ((1 + cos(a))(1 - cos(a))) / (1 + cos^2(a))

Упростим дальше: (1 - cos(a)) / (1 + cos(a))

Таким образом, упрощенное выражение равно: (1 - cos(a)) / (1 + cos(a))

Чтобы упростить выражение (\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a}), используем тригонометрические тождества.

Во-первых, вспомним, что (\sin 2a) и (\cos 2a) могут быть выражены через (\sin a) и (\cos a):

[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ]

и

[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a ]

Применим эти тождества к нашему выражению:

[ \frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{2 \sin a \cos a}{1 + \cos^2 a - \sin^2 a} ]

Теперь упростим знаменатель. Вспомним, что (\cos^2 a + \sin^2 a = 1):

[ 1 + \cos^2 a - \sin^2 a = 1 + (\cos^2 a - \sin^2 a) ]

Заменим (\cos^2 a - \sin^2 a) на (\cos 2a):

[ 1 + \cos 2a = 2 \cos^2 a ]

Таким образом, знаменатель можно записать как:

[ 2 \cos^2 a ]

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

[ \frac{2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a} ]

Сократим (2) в числителе и знаменателе:

[ \frac{\sin a \cos a}{\cos^2 a} ]

И упростим дальше, разделив (\cos a) в числителе и знаменателе:

[ \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a ]

Таким образом, упрощенное выражение:

[ \frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \tan a ]

Ответ: (\tan a).