Упростите выражение x/x-3-2/x+3:4x²+4x+24/x²-9
Упростите выражение x/x-3-2/x+3:4x²+4x+24/x²-9
Чтобы упростить выражение ( \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3} : \frac{4x^2 + 4x + 24}{x^2 - 9} ), мы будем выполнять его поэтапно. Давайте разберем все шаги.
Заменим ( x^2 - 9 ) на ( (x-3)(x+3) ) (разложение на множители):
[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ]
Теперь преобразуем дроби в выражении:
[ \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3} ]
Для этого найдем общий знаменатель:
[ (x-3)(x+3) ]
Перепишем дроби с общим знаменателем:
[ \frac{x(x+3) - 2(x-3)}{(x-3)(x+3)} ]
Раскроем скобки в числителе:
[ x(x+3) - 2(x-3) = x^2 + 3x - 2x + 6 = x^2 + x + 6 ]
Теперь у нас:
[ \frac{x^2 + x + 6}{(x-3)(x+3)} ]
Теперь займемся делением:
[ \left( \frac{x^2 + x + 6}{(x-3)(x+3)} \right) : \left( \frac{4x^2 + 4x + 24}{(x-3)(x+3)} \right) ]
При делении дробей, мы умножаем на обратную дробь:
[ \frac{x^2 + x + 6}{(x-3)(x+3)} \times \frac{(x-3)(x+3)}{4x^2 + 4x + 24} ]
Знаменатели и числители сокращаются:
[ \frac{x^2 + x + 6}{4x^2 + 4x + 24} ]
Теперь упростим оставшуюся дробь. В числителе у нас ( x^2 + x + 6 ), а в знаменателе:
[ 4x^2 + 4x + 24 = 4(x^2 + x + 6) ]
Таким образом, дробь упрощается до:
[ \frac{x^2 + x + 6}{4(x^2 + x + 6)} ]
Сокращаем ( x^2 + x + 6 ):
[ \frac{1}{4} ]
Итак, окончательный ответ:
[ \frac{1}{4} ]
Теперь выражение ( \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x+3} : \frac{4x^2 + 4x + 24}{x^2 - 9} ) упрощено до ( \frac{1}{4} ).
Для упрощения данного выражения сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели у нас уже упрощены, поэтому общим знаменателем будет произведение этих трех знаменателей: (x-3)(x+3)(x²-9).
Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:
x/(x-3) = x(x+3)(x²-9)/(x-3)(x+3)(x²-9) = x(x²-9)/(x²-9) = x
2/(x+3) = 2(x-3)(x²-9)/(x-3)(x+3)(x²-9) = 2(x-3)/(x²-9)
4x²+4x+24/x²-9 = 4(x²+4x+6)/(x²-9)
Теперь выражение имеет вид: x + 2(x-3) + 4(x²+4x+6) = x + 2x - 6 + 4x² + 16x + 24
Упростим это: 4x² + 19x + 18
Таким образом, упрощенное выражение равно 4x² + 19x + 18.
