В классе каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. В классе 16 парт, а на последней экскурсии было 23 школьника. Сколько учеников в классе?
Доску 8x8 без одной угловой клетки полностью разрезали на прямоугольники 1 х 4 и уголки из 3 клеток. Какое наибольшее число уголков могло при этом получиться, если известно, что фигур каждого вида получилось больше одной?
C решением пожалуйста дам 75 баллов
М 4 = Д 3 М + Д = 23
Из первого уравнения можно выразить М через Д: М = 3Д / 4. Подставляем это выражение во второе уравнение:
3Д / 4 + Д = 23 7Д / 4 = 23 Д = 4 * 23 / 7 = 92 / 7 = 13.14
Так как количество учеников должно быть целым числом, то Д должно быть кратно 7. Подставляем различные значения для Д и находим, что Д = 14, М = 12.
Итак, в классе 14 девочек и 12 мальчиков, всего 26 учеников.
Х + У = 63 4Х + 3У = 64
Из первого уравнения можно выразить Х через У: Х = 63 - У. Подставляем это выражение во второе уравнение:
4(63 - У) + 3У = 64 252 - 4У + 3У = 64 252 - У = 64 У = 188
Таким образом, наибольшее количество уголков, которое могло получиться, равно 188.
Давайте разберем оба вопроса по отдельности.
У нас есть информация, что каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка дружит ровно с тремя мальчиками. Это типичная задача на графы, где мальчики и девочки представляют собой вершины, а дружба — ребра графа.
Обозначим количество мальчиков за ( b ), а количество девочек за ( g ).
Из условия следует:
Так как общее количество связей с обеих сторон должно быть одинаковым, получаем уравнение: [ 4b = 3g ]
Также известно, что на экскурсии было 23 школьника, а в классе 16 парт. Предположим, что за одной партой сидят два ученика, тогда в классе может быть максимум 32 ученика.
Чтобы найти ( b ) и ( g ), воспользуемся уравнением ( 4b = 3g ), которое можно выразить как: [ g = \frac{4}{3}b ]
Пусть ( b + g = n ) — общее количество учеников в классе. Мы знаем, что ( n \leq 32 ).
Подставим ( g = \frac{4}{3}b ) в уравнение: [ b + \frac{4}{3}b = n ] [ \frac{7}{3}b = n ] [ b = \frac{3}{7}n ] [ g = \frac{4}{7}n ]
Так как ( b ) и ( g ) должны быть целыми числами, ( n ) должно быть кратно 7. Ближайшее к 23 число, кратное 7, это 21. Проверим это значение: [ b = \frac{3}{7} \times 21 = 9 ] [ g = \frac{4}{7} \times 21 = 12 ]
Таким образом, в классе всего 21 ученик.
У нас есть доска размером ( 8 \times 8 ), из которой удалена одна угловая клетка, что оставляет нас с 63 клетками.
Каждый прямоугольник ( 1 \times 4 ) занимает 4 клетки, а каждый уголок из 3 клеток занимает 3 клетки.
Обозначим количество прямоугольников как ( x ), а количество уголков как ( y ). Тогда у нас есть уравнение: [ 4x + 3y = 63 ]
Нам нужно максимизировать ( y ), при этом ( x \geq 2 ) и ( y \geq 2 ), так как фигур каждого вида больше одной.
Итак, чтобы максимизировать ( y ), минимизируем ( x ). Подставим минимальное возможное значение для ( x = 2 ): [ 4 \times 2 + 3y = 63 ] [ 8 + 3y = 63 ] [ 3y = 55 ] [ y = \frac{55}{3} \approx 18.33 ]
Поскольку ( y ) должно быть целым, округляем вниз: [ y = 18 ]
Теперь проверим, можно ли решить это с целыми значениями: При ( y = 18 ): [ 4x + 3 \times 18 = 63 ] [ 4x + 54 = 63 ] [ 4x = 9 ]
( x = 2.25 ) не является допустимым, так что попробуем ( y = 17 ): [ 4x + 3 \times 17 = 63 ] [ 4x + 51 = 63 ] [ 4x = 12 ] [ x = 3 ]
Таким образом, наибольшее число уголков, которое можно получить, равно 17.
Ответы:
