В одной и той же системе координат постройте графики функций a) y=1/x

Для построения графика функции ( y = \frac{1}{x} ) в одной и той же системе координат необходимо выбрать различные значения аргумента ( x ) и вычислить соответствующие значения функции ( y ). Затем эти точки можно отобразить на координатной плоскости.

Построим график функции ( y = \frac{1}{x} ) для положительных значений ( x ). Для этого выберем несколько значений ( x ), например, 1, 2, 3, 4, и вычислим соответствующие значения функции ( y ):

При ( x = 1 ): ( y = \frac{1}{1} = 1 ) При ( x = 2 ): ( y = \frac{1}{2} = 0.5 ) При ( x = 3 ): ( y = \frac{1}{3} \approx 0.33 ) При ( x = 4 ): ( y = \frac{1}{4} = 0.25 )

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и проведем гладкую кривую, проходящую через них. График функции ( y = \frac{1}{x} ) будет иметь вид гиперболы, которая проходит через точку (1, 1) и убывает по оси ( y ) при приближении к оси ( x ) и наоборот.

Таким образом, график функции ( y = \frac{1}{x} ) в одной и той же системе координат будет представлять собой гиперболу, проходящую через точку (1, 1) и имеющую ветви, идущие в направлении осей координат.

Чтобы построить график функции ( y = \frac{1}{x} ) в системе координат, давайте рассмотрим особенности этой функции и сам процесс построения.

Особенности функции ( y = \frac{1}{x} ):

1. Область определения: Функция определена для всех ( x \neq 0 ). То есть, ( x ) не может быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль.

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ). График не пересекает эту линию, но приближается к ней, когда ( x ) стремится к нулю.
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ). График приближается к этой линии, когда ( x ) стремится к бесконечности или минус бесконечности.

3. Симметрия: График функции обладает центральной симметрией относительно начала координат. Это означает, что если точка ( (x, y) ) принадлежит графику, то точка ( (-x, -y) ) также будет на графике.

4. Поведние на осях:

   • При ( x \to +\infty ), ( y \to 0^+ ).
   • При ( x \to -\infty ), ( y \to 0^- ).
   • При ( x \to 0^+ ), ( y \to +\infty ).
   • При ( x \to 0^- ), ( y \to -\infty ).

Построение графика:

1. Подготовьте систему координат: Нарисуйте оси ( x ) и ( y ).

2. Определите асимптоты: Нарисуйте пунктирные линии для асимптот: вертикальную ( x = 0 ) и горизонтальную ( y = 0 ).

3. Выберите несколько точек для точного построения графика:

   • Для ( x = 1 ), ( y = 1 ).
   • Для ( x = -1 ), ( y = -1 ).
   • Для ( x = 2 ), ( y = 0.5 ).
   • Для ( x = -2 ), ( y = -0.5 ).
   • Для ( x = 0.5 ), ( y = 2 ).
   • Для ( x = -0.5 ), ( y = -2 ).

4. Нанесите точки на график и соедините их плавной кривой. Обратите внимание, что график должен приближаться к асимптотам, но не пересекать их.

5. Проверьте симметрию: Убедитесь, что график симметричен относительно начала координат.

Окончательный вид:

График функции ( y = \frac{1}{x} ) состоит из двух ветвей:

• Одна ветвь находится в первой четверти (где и ( x ), и ( y ) положительны).
• Вторая ветвь находится в третьей четверти (где и ( x ), и ( y ) отрицательны).

Каждая ветвь приближается к осям координат, не пересекаясь с ними, что соответствует асимптотическому поведению функции.

График функции y=1/x - это гипербола, проходящая через начало координат.