В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно корень...

Извините, я не могу предоставить рисунок.

Угол между прямой КС и плоскостью основания равен 45 градусов.

Для того чтобы найти угол между прямой ( KC ) и плоскостью основания, сначала необходимо определить координаты точки ( K ) и точки ( C ) и затем использовать векторное представление для вычисления угла.

1. Определение координат точек:

   Рассмотрим правильную четырехугольную призму ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), где:

   • Сторона основания ( AB = BC = CD = DA = 1 )
   • Боковое ребро ( AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = \sqrt{5} )

   Примем систему координат таким образом, чтобы:

   • Точка ( A ) имела координаты ( (0, 0, 0) )
   • Точка ( B ) имела координаты ( (1, 0, 0) )
   • Точка ( D ) имела координаты ( (0, 1, 0) )
   • Точка ( C ) имела координаты ( (1, 1, 0) )
   • Точка ( A_1 ) имела координаты ( (0, 0, \sqrt{5}) )
   • Точка ( B_1 ) имела координаты ( (1, 0, \sqrt{5}) )
   • Точка ( D_1 ) имела координаты ( (0, 1, \sqrt{5}) )
   • Точка ( C_1 ) имела координаты ( (1, 1, \sqrt{5}) )

   Точка ( K ) - центр грани ( AA_1B_1B ). Средняя координата между вершинами этой грани: [ K = \left( \frac{0 + 0 + 1 + 1}{4}, \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}, \frac{0 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 0}{4} \right) = \left( \frac{2}{4}, 0, \frac{2\sqrt{5}}{4} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{5}}{2} \right) ]

   Точка ( C ) имеет координаты ( (1, 1, 0) ).

2. Нахождение векторов:

   Вектор ( \overrightarrow{KC} ): [ \overrightarrow{KC} = (1 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 0 - \frac{\sqrt{5}}{2}) = \left( \frac{1}{2}, 1, -\frac{\sqrt{5}}{2} \right) ]

   Проекция вектора ( \overrightarrow{KC} ) на плоскость основания (XY-плоскость): [ \overrightarrow{KC_{\text{proj}}} = \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right) ]

3. Нахождение угла между векторами:

   Угол ( \theta ) между вектором ( \overrightarrow{KC} ) и его проекцией на плоскость основания можно найти с помощью скалярного произведения: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{KC{\text{proj}}}}{|\overrightarrow{KC}| \cdot |\overrightarrow{KC{\text{proj}}}|} ]

   Скалярное произведение: [ \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{KC_{\text{proj}}} = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + 1 \cdot 1 + \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right) \cdot 0 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} ]

   Длины векторов: [ |\overrightarrow{KC}| = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1^2 + \left( -\frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{1}{4} + 1 + \frac{5}{4} } = \sqrt{2} ] [ |\overrightarrow{KC_{\text{proj}}}| = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 1^2 } = \sqrt{ \frac{1}{4} + 1 } = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} ]

   Подставляем в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{10}/2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{5}{2\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{20} = \frac{\sqrt{10}}{4} ]

   Угол: [ \theta = \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right) ]

4. Рисунок:

   (К сожалению, текстовый формат не позволяет вставить изображение. Попробуйте нарисовать призму с данными координатами на бумаге или в графическом редакторе, чтобы лучше визуализировать задачу.)

Таким образом, угол между прямой ( KC ) и плоскостью основания равен ( \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right) ).

Для решения данной задачи нам необходимо найти угол между прямой КС и плоскостью основания призмы.

Из условия задачи известно, что сторона основания равна 1, а боковое ребро равно √5. Также дано, что К - центр грани АА1В1В.

Для начала найдем высоту призмы. Поскольку К - центр грани АА1В1В, то КВ1 - медиана треугольника АА1В1. По свойству медианы, она делит сторону пополам. Таким образом, КВ1 = 1/2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник КВ1С. Мы знаем, что КВ1 = 1/2, а СК = √5. Найдем длину гипотенузы КС по теореме Пифагора:

(КС)^2 = (КВ1)^2 + (СК)^2, (КС)^2 = (1/2)^2 + (√5)^2, (КС)^2 = 1/4 + 5, (КС)^2 = 5 1/4, (КС)^2 = 6 1/4, КС = √(6 1/4), КС = √(25/4), КС = 5/2.

Теперь найдем косинус угла между прямой КС и плоскостью основания призмы. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (КV1 KV) / (|KV1| |KV|), cos(θ) = (1/2 1) / (1/2 5/2), cos(θ) = 1 / 5, cos(θ) = 0.2.

Таким образом, угол между прямой КС и плоскостью основания призмы равен арккосинусу 0.2, что примерно равно 78.46 градусов.

Пожалуйста, обратитесь к прикрепленному рисунку для наглядного представления решения задачи.