В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AC = 20, tg A = 0,2. Найдите BC.

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, это значит, что треугольник является прямоугольным. Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

• AC – это одна из катетов, равный 20.
• BC – это другой катет, который мы хотим найти.
• AB – это гипотенуза.

У нас также есть значение тангенса угла A, tg A = 0,2. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета (в нашем случае это BC) к прилежащему катету (в нашем случае это AC).

Таким образом, можем записать:

[ \tan A = \frac{BC}{AC} ]

Подставим известные значения:

[ 0,2 = \frac{BC}{20} ]

Теперь выразим BC:

[ BC = 20 \cdot 0,2 ] [ BC = 4 ]

Таким образом, мы нашли длину катета BC, который равен 4.

Теперь для проверки можем рассмотреть гипотенузу AB, используя теорему Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ] [ AB^2 = 20^2 + 4^2 ] [ AB^2 = 400 + 16 ] [ AB^2 = 416 ]

Теперь найдем AB:

[ AB = \sqrt{416} \approx 20,4 ]

Таким образом, мы подтвердили, что все вычисления верны.

В итоге, длина катета BC равна 4.

Давайте решим задачу подробно, используя свойства прямоугольного треугольника и тригонометрии.

Условие:

• Угол ( C ) равен ( 90^\circ ), значит, треугольник ( ABC ) — прямоугольный.
• Катет ( AC = 20 ).
• Тангенс угла ( A ) равен ( \tan A = 0,2 ).
• Необходимо найти длину катета ( BC ).

Шаг 1: Вспомним определение тангенса

В прямоугольном треугольнике тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла ( A ), противолежащий катет — это ( BC ), а прилежащий катет — это ( AC ). Таким образом, по определению:

[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}. ]

Подставим значения из условия:

[ 0,2 = \frac{BC}{20}. ]

Шаг 2: Найдём ( BC )

Умножим обе части уравнения на ( 20 ), чтобы выразить ( BC ):

[ BC = 0,2 \cdot 20 = 4. ]

Таким образом, длина катета ( BC ) равна ( 4 ).

Шаг 3: Проверка через теорему Пифагора

Для проверки найдём гипотенузу ( AB ) с помощью теоремы Пифагора. Формула теоремы Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2. ]

Подставим известные значения ( AC = 20 ) и ( BC = 4 ):

[ AB^2 = 20^2 + 4^2 = 400 + 16 = 416. ]

Тогда:

[ AB = \sqrt{416} \approx 20,4. ]

Теперь проверим значение ( \tan A ) с использованием найденных длин сторон:

[ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{20} = 0,2. ]

Соответствует условию задачи, значит, решение верное.

Ответ:

Длина катета ( BC ) равна ( \mathbf{4} ).