В треугольнике АВС сторона АВ=√3,ВС=х,∠В=15°,∠А=45°.Найдите х.

Для нахождения длины стороны $BC$ в треугольнике $ABC$, где даны $AB=\sqrt{3}$, $\mathrm{\angle }B={15}^{\circ }$, и $\mathrm{\angle }A={45}^{\circ }$, можно воспользоваться теоремой косинусов. Однако сначала давайте найдем третий угол $\mathrm{\angle }C$.

Сумма углов в треугольнике равна ${180}^{\circ }$: $\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A-\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{15}^{\circ }={120}^{\circ }.$

Теперь применим теорему косинусов для нахождения стороны $BC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos (\mathrm{\angle }B).$

Но у нас нет длины стороны $AC$. Давайте воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти её: $\frac{AB}{\sin (\mathrm{\angle }C)}=\frac{AC}{\sin (\mathrm{\angle }B)}=\frac{BC}{\sin (\mathrm{\angle }A)}.$

Используя известные значения: $\frac{\sqrt{3}}{\sin ({120}^{\circ })}=\frac{AC}{\sin ({15}^{\circ })}.$

Синус угла ${120}^{\circ }$: $\sin ({120}^{\circ })=\sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin ({60}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Тогда уравнение примет вид: $\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AC}{\sin ({15}^{\circ })}\Rightarrow 2=\frac{AC}{\sin ({15}^{\circ })}\Rightarrow AC=2\cdot \sin ({15}^{\circ }).$

Теперь нам нужно найти значение $\sin ({15}^{\circ }$). Воспользуемся формулой: $\sin ({15}^{\circ })=\sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }-\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }.$

Значения синусов и косинусов: $\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},$ $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}.$

Тогда: $\sin ({15}^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

Теперь подставим это значение в наше уравнение для $AC$: $AC=2\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$

Теперь применим теорему косинусов для нахождения $BC$: $B{C}^2=(\sqrt{3}{)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cdot \cos ({15}^{\circ }).$

Значение косинуса ${15}^{\circ }$: $\cos ({15}^{\circ })=\cos ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\sin {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Теперь подставим это значение в уравнение: $B{C}^2=3+{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2-2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Выполним вычисления: ${\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{4}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}.$

$2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{3}\cdot ({\sqrt{6}}^2-{\sqrt{2}}^2)}{8}=\frac{2\sqrt{3}\cdot (6-2)}{8}=\frac{8\sqrt{3}}{8}=\sqrt{3}.$

Тогда: $B{C}^2=3+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}=5-\sqrt{3}.$

Таким образом, $BC=\sqrt{5-\sqrt{3}}$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.

Сначала найдем длину стороны АС. Используем теорему синусов для треугольника АВС: sin$\angle В$ / ВС = sin$\angle А$ / АС sin$15°$ / x = sin$45°$ / √3 x = √3 sin$15°$ / sin$45°$ x ≈ √3 0.258819 / 0.707107 x ≈ √3 * 0.258819 / 0.707107 x ≈ 0.446994

Таким образом, длина стороны ВС равна примерно 0.446994.