В треугольнике АВС сторона АВ=√3,ВС=х,∠В=15°,∠А=45°.Найдите х.

Для нахождения длины стороны ( BC ) в треугольнике ( ABC ), где даны ( AB = \sqrt{3} ), ( \angle B = 15^\circ ), и ( \angle A = 45^\circ ), можно воспользоваться теоремой косинусов. Однако сначала давайте найдем третий угол ( \angle C ).

Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ): [ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ. ]

Теперь применим теорему косинусов для нахождения стороны ( BC ): [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle B). ]

Но у нас нет длины стороны ( AC ). Давайте воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти её: [ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}. ]

Используя известные значения: [ \frac{\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} = \frac{AC}{\sin(15^\circ)}. ]

Синус угла ( 120^\circ ): [ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Тогда уравнение примет вид: [ \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\sin(15^\circ)} \Rightarrow 2 = \frac{AC}{\sin(15^\circ)} \Rightarrow AC = 2 \cdot \sin(15^\circ). ]

Теперь нам нужно найти значение (\sin(15^\circ)). Воспользуемся формулой: [ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ. ]

Значения синусов и косинусов: [ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, ] [ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, ] [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. ]

Тогда: [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. ]

Теперь подставим это значение в наше уравнение для ( AC ): [ AC = 2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}. ]

Теперь применим теорему косинусов для нахождения ( BC ): [ BC^2 = (\sqrt{3})^2 + \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \right)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos(15^\circ). ]

Значение косинуса ( 15^\circ ): [ \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ]

Теперь подставим это значение в уравнение: [ BC^2 = 3 + \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \right)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ]

Выполним вычисления: [ \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{6 - 2 \sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}. ]

[ 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2 \sqrt{3} \cdot (\sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2)}{8} = \frac{2 \sqrt{3} \cdot (6 - 2)}{8} = \frac{8 \sqrt{3}}{8} = \sqrt{3}. ]

Тогда: [ BC^2 = 3 + 2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = 5 - \sqrt{3}. ]

Таким образом, ( BC = \sqrt{5 - \sqrt{3}} ).

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов.

Сначала найдем длину стороны АС. Используем теорему синусов для треугольника АВС: sin(∠В) / ВС = sin(∠А) / АС sin(15°) / x = sin(45°) / √3 x = √3 sin(15°) / sin(45°) x ≈ √3 0.258819 / 0.707107 x ≈ √3 * 0.258819 / 0.707107 x ≈ 0.446994

Таким образом, длина стороны ВС равна примерно 0.446994.