Векторы a,b,c связаны условием a+b+c=0 , доказать,что a×b=b×c=c×a. Каков геометрический смысл этого результата?
Векторы a,b,c связаны условием a+b+c=0 , доказать,что a×b=b×c=c×a. Каков геометрический смысл этого результата?
Для доказательства равенства векторных произведений a×b=b×c=c×a воспользуемся свойством векторного произведения, которое гласит, что a×b равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны (лежат на одной прямой).
Исходя из условия a+b+c=0, можно записать: a = -b - c b = -a - c c = -a - b
Таким образом, векторы a, b и c коллинеарны, следовательно, их векторные произведения равны нулевому вектору, т.е. a×b=b×c=c×a=0.
Геометрический смысл данного результата заключается в том, что векторы a, b и c лежат на одной прямой и образуют треугольник, в котором сумма всех векторов равна нулевому вектору. Это означает, что векторы a, b и c компланарны (лежат в одной плоскости) и образуют замкнутую фигуру, что соответствует условию равенства векторных произведений.
Доказываем, что a×b=b×c=c×a. Геометрический смысл: векторы a, b, c лежат в одной плоскости и образуют замкнутый треугольник.
Для доказательства равенства векторных произведений ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{c} \times \mathbf{a} ), начнем с условия, что (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \mathbf{0}). Из этого можно выразить один из векторов через два других, например, (\mathbf{c} = -\mathbf{a} - \mathbf{b}).
Теперь посчитаем векторные произведения:
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
(\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{b} \times (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{b} \times (-\mathbf{a}) + \mathbf{b} \times (-\mathbf{b}) = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) + \mathbf{0} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b}), поскольку (\mathbf{b} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}) и (\mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b})).
(\mathbf{c} \times \mathbf{a} = (-\mathbf{a} - \mathbf{b}) \times \mathbf{a} = -\mathbf{a} \times \mathbf{a} - \mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} + \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}).
Таким образом, все три векторных произведения равны друг другу: (\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \mathbf{c} \times \mathbf{a}).
Теперь рассмотрим геометрический смысл этого результата. Векторы (\mathbf{a}), (\mathbf{b}) и (\mathbf{c}) образуют замкнутый треугольник в пространстве, так как их сумма равна нулю. Векторное произведение двух векторов, таких как (\mathbf{a} \times \mathbf{b}), дает вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), и его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Так как (\mathbf{a}), (\mathbf{b}) и (\mathbf{c}) формируют треугольник, площадь параллелограмма, натянутого на любой паре из этих векторов, остается постоянной. Следовательно, величина векторного произведения (которая равна удвоенной площади треугольника) одинакова для всех трех пар векторов. Это и отражает равенство векторных произведений.
