Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: Xn=(2\3)^2n

Для того чтобы выяснить, является ли последовательность ( Xn = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} ) геометрической прогрессией, необходимо проверить, выполняется ли для её членов условие ( X{n+1} = q \cdot X_n ), где ( q ) — постоянный множитель прогрессии.

Давайте рассмотрим это на примере:

1. Найдём ( X_n ): [ X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} ]

2. Найдём ( X{n+1} ): [ X{n+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n+2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = X_n \cdot \left(\frac{4}{9}\right) ]

Так как каждый следующий член последовательности ( X_{n+1} ) получается умножением предыдущего члена ( X_n ) на постоянный множитель ( \frac{4}{9} ), то можно заключить, что последовательность ( X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} ) действительно является геометрической прогрессией с знаменателем ( q = \frac{4}{9} ).

Таким образом, последовательность ( X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n} ) является геометрической прогрессией с знаменателем ( q = \frac{4}{9} ).

Для того чтобы выяснить, является ли данная последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, выполняется ли условие геометрической прогрессии. Для этого необходимо проверить, что отношение любых двух последовательных членов последовательности будет постоянным.

В данном случае у нас задана формула n-го члена последовательности: Xn = (2/3)^(2n). Чтобы найти отношение двух последовательных членов, нужно подставить n и n+1 в формулу и вычислить их отношение:

Отношение X(n+1) к Xn = [(2/3)^(2(n+1))] / [(2/3)^(2n)] = (2/3)^(2(n+1) - 2n) = (2/3)^2 = 4/9.

Таким образом, отношение двух последовательных членов равно 4/9, что является постоянным. Следовательно, данная последовательность Xn=(2/3)^(2n) является геометрической прогрессией.