Вычислить 9^3*27^4/81^5

Для того чтобы вычислить выражение ( \frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5} ), давайте сначала разложим все числа в основание 3.

1. Разложим числа на простые множители:

   • ( 9 = 3^2 )
   • ( 27 = 3^3 )
   • ( 81 = 3^4 )

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

   • ( 9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 )
   • ( 27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12} )
   • ( 81^5 = (3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5} = 3^{20} )

Теперь наше выражение принимает вид: [ \frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5} = \frac{3^6 \cdot 3^{12}}{3^{20}} ]

1. Используем свойства степеней:
   • Произведение степеней с одинаковым основанием: ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} )
   • Деление степеней с одинаковым основанием: ( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} )

Применим эти свойства: [ \frac{3^6 \cdot 3^{12}}{3^{20}} = \frac{3^{6+12}}{3^{20}} = \frac{3^{18}}{3^{20}} = 3^{18-20} = 3^{-2} ]

1. Преобразуем отрицательную степень:

   • ( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} )

2. Вычислим значение:

   • ( 3^2 = 9 )
   • Следовательно, ( \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} )

Таким образом, результат выражения ( \frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5} ) равен: [ \frac{1}{9} ]

Ответ: ( \frac{1}{9} ).

Для вычисления данного выражения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить каждое число в степени: 9^3 = 729 27^4 = 531441 81^5 = 205891132094649

2. Подставить полученные значения обратно в исходное выражение: 729 * 531441 / 205891132094649

3. Произвести умножение и деление: 729 * 531441 = 387420489 387420489 / 205891132094649 ≈ 0,000001883

Таким образом, результат выражения 9^3*27^4/81^5 ≈ 0,000001883.