Вычислить arccos(-√3/2)+arcctg(1/√3)

Чтобы вычислить выражение (\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)), разберёмся с каждым элементом отдельно.

1. (\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right))

Функция (\arccos(x)) даёт угол (\theta) в диапазоне ([0, \pi]), для которого (\cos(\theta) = x).

Значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}) соответствует углу, где косинус принимает это значение. Если (\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), то (\theta) может быть в одной из двух точек на единичной окружности, но в диапазоне ([0, \pi]) это будет (\theta = \frac{5\pi}{6}).

2. (\operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right))

Функция (\operatorname{arcctg}(x)) даёт угол (\phi) в диапазоне ((0, \pi)), для которого (\operatorname{ctg}(\phi) = x).

Значение (\frac{1}{\sqrt{3}}) соответствует углу, где котангенс принимает это значение. Котангенс равен (\frac{1}{\sqrt{3}}) для угла (\phi = \frac{\pi}{3}).

Сложение углов

Теперь сложим найденные углы: [ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} ]

Приведём к общему знаменателю: [ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} ]

Таким образом, значение выражения (\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)) равно (\frac{7\pi}{6}).

π/6

Для вычисления данного выражения сначала найдем значения арккосинуса и арккотангенса для данных аргументов.

1. arccos(-√3/2): Так как косинус равен -√3/2 при угле π/6, то arccos(-√3/2) = π/6.

2. arcctg(1/√3): Так как котангенс равен 1/√3 при угле π/6, то arcctg(1/√3) = π/6.

Итак, arccos(-√3/2) + arcctg(1/√3) = π/6 + π/6 = 2π/6 = π/3.

Ответ: π/3.