Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 +1 и y=x+3. Сколько ни решаю, получается 5,5

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры.

Для начала найдем точки пересечения кривых y=x^2 +1 и y=x+3. Приравниваем уравнения и находим x: x^2 + 1 = x + 3 x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 x = 2 или x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y: При x = 2: y = 2^2 + 1 = 5 При x = -1: y = (-1)^2 + 1 = 2

Таким образом, точки пересечения кривых: (2, 5) и (-1, 2).

Площадь фигуры между кривыми можно найти с помощью определенного интеграла: S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) и g(x) - уравнения кривых, a и b - точки пересечения кривых.

S = ∫[-1, 2] ((x + 3) - (x^2 + 1)) dx S = ∫[-1, 2] (2 - x - x^2) dx S = [2x - x^2/2 - x^3/3] [-1, 2] S = (4 - 4/2 - 8/3) - (-2 + 1/2 + 1/3) S = (4 - 2 - 8/3) - (-2 + 1/2 + 1/3) S = (6 - 8/3) - (-4/6 + 3/6 + 2/6) S = (6 - 8/3) - (1/6) S = 18/3 - 8/3 - 1/6 S = 10/3 - 1/6 S = (20 - 1) / 6 S = 19 / 6 S = 3.16667

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 +1 и y=x+3, составляет примерно 3.17 (или округленно 3.17) единицы площади.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя заданными функциями, сначала нужно найти точки пересечения этих функций. Точки пересечения получаются из уравнения:

[ x^2 + 1 = x + 3. ]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

[ x^2 - x - 2 = 0. ]

Теперь решаем квадратное уравнение:

[ a = 1, \; b = -1, \; c = -2. ] [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. ] [ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2, ] [ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1. ]

Итак, функции пересекаются в точках x = 2 и x = -1. Теперь определим, какая из кривых находится выше на интервале между этими точками. Подставляем любое значение x из интервала (-1, 2), например, x = 0:

[ y_1 = 0^2 + 1 = 1, ] [ y_2 = 0 + 3 = 3. ]

Функция ( y = x + 3 ) находится выше функции ( y = x^2 + 1 ) на интервале от -1 до 2. Теперь находим площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, интегрированием разности функций:

[ \text{Площадь} = \int{-1}^{2} [(x + 3) - (x^2 + 1)] \, dx = \int{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx. ]

Вычисляем интеграл:

[ \int (-x^2 + x + 2) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2} = \left[-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right]. ]

[ = \left[-\frac{8}{3} + 2 + 4\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right]. ] [ = \left[-\frac{8}{3} + 6\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right]. ] [ = \left[-\frac{8}{3} + \frac{18}{3}\right] - \left[\frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right]. ] [ = \frac{10}{3} - \left[\frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right]. ] [ = \frac{10}{3} - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right]. ] [ = \frac{10}{3} - \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right]. ] [ = \frac{10}{3} - \left[\frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right]. ] [ = \frac{10}{3} - \left[-\frac{5}{6}\right]. ] [ = \frac{10}{3} + \frac{5}{6} = \frac{20}{6} + \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17. ]

Таким образом, площадь фигуры приблизительно равна 4.17 квадратных единиц. Возможно, при вашем решении произошла ошибка в вычислениях, что привело к результату 5.5.