Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3 ; y= корень из x

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y=x^3 и y=корень из x, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравниваем уравнения:

x^3 = корень из x

Возводим обе части уравнения в квадрат:

x^6 = x

Решаем уравнение:

x^6 - x = 0

x(x^5 - 1) = 0

x(x^2 - 1)(x^3 + x^2 + 1) = 0

x(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = 0

Отсюда получаем корни уравнения: x = 0, x = 1, x = -1

Теперь можем найти точки пересечения графиков функций:

При x = 0: y = 0, y = 0 При x = 1: y = 1, y = 1 При x = -1: y = -1, y = 1

Далее нужно найти площадь фигуры между графиками функций. Для этого вычисляем интеграл от разности y=x^3 и y=корень из x по отрезку [-1, 1]:

S = ∫[−1,1] (x^3 - корень из x) dx

После вычислений получаем значение площади фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 ) и ( y = \sqrt{x} ), нужно сначала определить точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем уравнения:

[ x^3 = \sqrt{x}. ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ (x^3)^2 = (\sqrt{x})^2, ]

то есть:

[ x^6 = x. ]

Решим это уравнение:

[ x^6 - x = 0. ]

Вынесем ( x ) за скобку:

[ x(x^5 - 1) = 0. ]

Отсюда получаем два решения:

1. ( x = 0 ),
2. ( x^5 - 1 = 0 ), что дает ( x = 1 ).

Таким образом, точки пересечения кривых — это ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной данными линиями, на интервале ([0, 1]). Для этого найдем разность значений функций на данном интервале и интегрируем её:

[ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^3) \, dx. ]

Вычислим этот интеграл:

1. Найдем первообразные для каждой из функций:

   (\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2},)

   (\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}.)

2. Подставим пределы интегрирования и найдем разность:

   [ A = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]{0}^{1} - \left[ \frac{x^4}{4} \right]{0}^{1}. ]

3. Вычислим значения:

   [ A = \left( \frac{2}{3} \times 1^{3/2} - \frac{2}{3} \times 0^{3/2} \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right), ]

   [ A = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} \right). ]

4. Приведем к общему знаменателю и найдём разность:

   [ A = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 ) и ( y = \sqrt{x} ), равна ( \frac{5}{12} ).