Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями: y=4-x^2, y=2-x Помогите!

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения, которые являются границами данной фигуры.

Сначала найдем точки пересечения линий y=4-x^2 и y=2-x. Приравняем уравнения и найдем значение x: 4-x^2 = 2-x x^2 - x - 2 = 0 (x-2)(x+1) = 0 x = 2 или x = -1

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнения и найдем соответствующие значения y: При x = 2: y = 4 - 2^2 = 0 При x = -1: y = 4 - (-1)^2 = 3

Таким образом, точки пересечения линий y=4-x^2 и y=2-x равны (2,0) и (-1,3).

Теперь построим график данных функций и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь можно найти как интеграл разности данных функций на промежутке от x = -1 до x = 2:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx S = ∫[-1,2] (4-x^2 - (2-x)) dx S = ∫[-1,2] (2+x-x^2) dx S = [2x + 0.5x^2 - (1/3)x^3] | [-1,2] S = (4 + 2 - 8/3) - (-2 + 0.5 + 1/3) S = (10/3) - (7/6) S = 15/6 - 7/6 S = 8/6 S = 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=2-x, равна 4/3 единицы площади.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 4 - x^2 ) и ( y = 2 - x ), сначала нужно определить точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем их:

[ 4 - x^2 = 2 - x ]

Решим это уравнение:

1. Переносим все в одну сторону:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

1. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

1. Находим корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -1 ).

Теперь нужно вычислить площадь фигуры между этими двумя кривыми на промежутке от ( x = -1 ) до ( x = 2 ). Для этого найдем разность между значениями функций ( y = 4 - x^2 ) и ( y = 2 - x ) и проинтегрируем её по ( x ) от (-1) до (2).

Функция, которую нужно интегрировать, будет выглядеть так:

[ A = \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) \, dx ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ A = \int{-1}^{2} (4 - x^2 - 2 + x) \, dx = \int{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx ]

Теперь вычислим интеграл:

[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} ]

Вычислим значение интеграла в пределах:

1. Подставим верхний предел:

[ \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \times 2 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) = -\frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{10}{3} ]

1. Подставим нижний предел:

[ \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \times (-1) \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} \right) = \left( \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} \right) = -\frac{7}{6} ]

Теперь найдём разность:

[ A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} ]

Приведём к общему знаменателю:

[ A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 4 - x^2 ) и ( y = 2 - x ), равна (\frac{9}{2}) или 4.5 квадратных единиц.