Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями: y=4-x^2, y=o. Сделать рисунок

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла. При этом формула будет следующей: [ S = \int{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx ] где ( f(x) = 4 - x^2 ), ( g(x) = 0 ), ( a ) и ( b ) - точки пересечения функций. Точки пересечения функций находятся из уравнения ( 4 - x^2 = 0 ), то есть ( x = \pm 2 ). Подставляем значения и находим площадь: [ S = \int{-2}^{2} (4 - x^2 - 0) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = 16 ] Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 16.

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями ( y = 4 - x^2 ) и ( y = 0 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение точек пересечения:

   Криволинейная трапеция ограничена сверху параболой ( y = 4 - x^2 ) и снизу линией ( y = 0 ). Чтобы найти точки пересечения этих линий, приравняем ( 4 - x^2 = 0 ).

   [ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 ]

   Таким образом, точки пересечения — это ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

2. Вычисление площади:

   Площадь под кривой ( y = 4 - x^2 ) от ( x = -2 ) до ( x = 2 ) можно найти, используя определенный интеграл:

   [ \text{Площадь} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx ]

3. Вычисление интеграла:

   Найдем первообразную для функции ( 4 - x^2 ):

   [ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C ]

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   [ \text{Площадь} = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) ]

   [ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) ]

   [ = \left( \frac{24}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{-24}{3} + \frac{8}{3} \right) ]

   [ = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} ]

   Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна ( \frac{32}{3} ).

4. Построение графика:

   Для построения графика, нарисуем оси координат ( x ) и ( y ). Изобразим параболу ( y = 4 - x^2 ), которая открыта вниз и проходит через точки ( (-2, 0) ), ( (0, 4) ), и ( (2, 0) ). Область между этой параболой и осью ( x ) (линия ( y = 0 )) в пределах от ( x = -2 ) до ( x = 2 ) будет представлять собой криволинейную трапецию, площадь которой мы рассчитали.

Это дает полное решение задачи и визуальное представление области интегрирования.

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=4-x^2 и y=0, необходимо найти точки пересечения этих двух функций. Для этого приравняем их:

4-x^2 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, точки пересечения (2,0) и (-2,0). Теперь мы можем построить график функции y=4-x^2 и область, которая ограничена этой функцией и осью x.

Интегрируем функцию y=4-x^2 от -2 до 2, чтобы найти площадь:

∫(4-x^2)dx от -2 до 2

= [4x-(x^3)/3] от -2 до 2

= [8-(8/3)] - [-8+(8/3)]

= 16/3

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной функциями y=4-x^2 и y=0, равна 16/3.