Вычислить tg(270°+α).

Для вычисления ( \tan(270^\circ + \alpha) ), давайте разберем это выражение по шагам, используя тригонометрические свойства и формулы.

Шаг 1. Определение тангенса через периодичность

Тангенс — это периодическая функция с периодом ( 180^\circ ). Это значит, что: [ \tan(x + 180^\circ) = \tan(x). ] Однако ( 270^\circ + \alpha ) не является кратным ( 180^\circ ), поэтому будем работать с этим выражением по-другому.

Шаг 2. Представление угла на тригонометрической окружности

Угол ( 270^\circ + \alpha ) можно интерпретировать как угол, который находится на ( \alpha ) градусов ниже точки ( 270^\circ ) на тригонометрической окружности.

• Угол ( 270^\circ ) находится на отрицательной оси ординат (оси ( y )), где синус равен ( -1 ), а косинус равен ( 0 ).
• Когда мы добавляем ( \alpha ), мы смещаемся далее в четвертую четверть.

Шаг 3. Использование формулы суммы углов

Согласно формуле для тангенса суммы углов: [ \tan(A + B) = \frac{\tan(A) + \tan(B)}{1 - \tan(A) \tan(B)}. ] Подставим ( A = 270^\circ ) и ( B = \alpha ). Но важно помнить, что ( \tan(270^\circ) ) не определён, так как ( \cos(270^\circ) = 0 ). Вместо этого мы обратимся к геометрическим свойствам тангенса.

Шаг 4. Свойство тангенса при смещении на ( 270^\circ )

Тригонометрические функции подчиняются определённым правилам в зависимости от углового смещения: [ \tan(270^\circ + \alpha) = \cot(\alpha), ] где ( \cot(\alpha) ) — это котангенс угла ( \alpha ), равный: [ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}. ]

Шаг 5. Окончательный результат

Таким образом: [ \tan(270^\circ + \alpha) = \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}. ]

Вывод:

Значение ( \tan(270^\circ + \alpha) ) равно ( \cot(\alpha) ), и для вычисления конкретного значения нужно знать синус и косинус угла ( \alpha ).

Чтобы вычислить (\tan(270° + \alpha)), воспользуемся формулой для тангенса суммы углов:

[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} ]

В данном случае (A = 270°) и (B = \alpha). Сначала найдем (\tan 270°).

Значение тангенса для угла (270°) можно определить следующим образом:

[ \tan 270° = \frac{\sin 270°}{\cos 270°} ]

Зная, что (\sin 270° = -1) и (\cos 270° = 0), мы получаем:

[ \tan 270° = \frac{-1}{0} ]

Это значение не определено, поскольку деление на ноль невозможно. Однако можно использовать свойства тангенса для углов, чтобы упростить выражение.

Для угла (270° + \alpha) можно рассмотреть его положение на единичной окружности. Угол (270°) находится на оси Y, и добавление угла (\alpha) смещает точку на окружности в соответствии с углом (\alpha).

Теперь мы можем использовать свойство тангенса, что:

[ \tan(270° + \alpha) = \tan(180° + (90° + \alpha)) = \tan(90° + \alpha) ]

Согласно свойству тангенса:

[ \tan(90° + \alpha) = -\cot(\alpha) ]

Таким образом, мы можем записать:

[ \tan(270° + \alpha) = -\cot(\alpha) ]

Это означает, что тангенс угла (270° + \alpha) равен отрицательному значению котангенса угла (\alpha).

Итак, окончательный ответ:

[ \tan(270° + \alpha) = -\cot(\alpha) ]