Вычислите: arcsin 1 - arcsin 1/2 + arcsin (-√3/2)

Для того чтобы вычислить выражение ( \arcsin(1) - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ), мы должны понимать значения арксинуса (обратной функции синуса) для данных аргументов.

1. Вычисление ( \arcsin(1) ):

   ( \arcsin(x) ) — это угол ( \theta ) в промежутке ([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]), для которого ( \sin(\theta) = x ).

   Поэтому, ( \arcsin(1) ) — это угол ( \theta ), при котором (\sin(\theta) = 1).

   Из тригонометрии известно, что:

   [ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 ]

   Следовательно:

   [ \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} ]

2. Вычисление ( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) ):

   ( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) ) — это угол ( \theta ), при котором (\sin(\theta) = \frac{1}{2}).

   Из тригонометрии известно, что:

   [ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} ]

   Следовательно:

   [ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} ]

3. Вычисление ( \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ):

   ( \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ) — это угол ( \theta ), при котором (\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}).

   Из тригонометрии известно, что:

   [ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Следовательно:

   [ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} ]

Теперь мы можем подставить все вычисленные значения в исходное выражение:

[ \arcsin(1) - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} ]

Приведем все дроби к общему знаменателю:

[ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} ] [ \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} ]

Итак, подставляем:

[ \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi - 2\pi}{6} = \frac{0\pi}{6} = 0 ]

Таким образом, результат вычислений:

[ \arcsin(1) - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 ]

Получится: π/2 - π/6 - π/3 = π/6.

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами обратных тригонометрических функций.

1. arcsin 1 = π/2, так как sin(π/2) = 1.
2. arcsin 1/2 = π/6, так как sin(π/6) = 1/2.
3. arcsin (-√3/2) = -π/3, так как sin(-π/3) = -√3/2.

Теперь подставим значения в исходное выражение: π/2 - π/6 - π/3 = (3π - π - 2π)/6 = 0.

Итак, результат выражения arcsin 1 - arcsin 1/2 + arcsin (-√3/2) равен 0.