Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) y = x3+1, y=0, x=1, x=2. б) y=x2, y=5x-4.

Рассмотрим оба случая по отдельности:

a) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 + 1 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ), ( x = 2 ):

1. Анализ фигуры:

   • Фигура ограничена снизу прямой ( y = 0 ), то есть осью ( OX ).
   • Слева ограничение ( x = 1 ), справа ( x = 2 ).
   • Верхнюю границу задаёт кривая ( y = x^3 + 1 ).

2. Формула для площади: Чтобы найти площадь, нужно вычислить определённый интеграл функции ( y = x^3 + 1 ) от ( x = 1 ) до ( x = 2 ): [ S = \int_{1}^{2} (x^3 + 1) \, dx. ]

3. Вычисление интеграла: Найдём первообразную функции ( x^3 + 1 ): [ \int (x^3 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + x + C. ] Подставим пределы интегрирования ( x = 1 ) и ( x = 2 ): [ S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{1}^{2}. ]

4. Подстановка пределов: Сначала вычислим значение первообразной в точке ( x = 2 ): [ \frac{2^4}{4} + 2 = \frac{16}{4} + 2 = 4 + 2 = 6. ] Затем вычислим значение первообразной в точке ( x = 1 ): [ \frac{1^4}{4} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}. ] Теперь найдём разность: [ S = 6 - \frac{5}{4} = \frac{24}{4} - \frac{5}{4} = \frac{19}{4}. ]

5. Ответ: Площадь фигуры равна: [ S = \frac{19}{4} \approx 4.75. ]

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 5x - 4 ):

1. Анализ фигуры:

   • Фигура ограничена двумя кривыми: ( y = x^2 ) (парабола) и ( y = 5x - 4 ) (прямая).
   • Чтобы найти площадь, нужно определить точки пересечения этих кривых, поскольку они задают границы интегрирования.

2. Найдём точки пересечения: Приравняем ( x^2 = 5x - 4 ): [ x^2 - 5x + 4 = 0. ] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. ] Найдём корни: [ x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4. ] Точки пересечения: ( x = 1 ) и ( x = 4 ).

3. Формула для площади: Площадь между двумя кривыми вычисляется как разность интегралов верхней функции и нижней функции: [ S = \int_{1}^{4} \big[ (5x - 4) - x^2 \big] \, dx. ] Здесь ( 5x - 4 ) — верхняя функция, а ( x^2 ) — нижняя.

4. Упростим выражение под интегралом: Разность функций: [ (5x - 4) - x^2 = -x^2 + 5x - 4. ] Интеграл примет вид: [ S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx. ]

5. Вычислим интеграл: Найдём первообразную: [ \int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C. ] Вычислим значение первообразной при ( x = 4 ) и ( x = 1 ):

   • Для ( x = 4 ): [ -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24. ] Приведём к общему знаменателю: [ -\frac{64}{3} + 24 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3}. ]
   • Для ( x = 1 ): [ -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4. ] Приведём к общему знаменателю (общий знаменатель 6): [ -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} = \frac{-11}{6}. ]

6. Найдём разность: [ S = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}. ]

7. Ответ: Площадь фигуры равна: [ S = \frac{9}{2} = 4.5. ]

Итоговые ответы:

a) ( S = \frac{19}{4} \approx 4.75 ),
б) ( S = \frac{9}{2} = 4.5 ).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными кривыми, необходимо вычислить интеграл от верхней функции минус нижней функции на заданном интервале.

а) Фигура, ограниченная линиями (y = x^3 + 1), (y = 0), (x = 1), (x = 2)

1. Определение функций:
   В данном случае верхняя функция — это (y = x^3 + 1), а нижняя — это (y = 0) (ось абсцисс).

2. Постановка задачи:
   Мы хотим вычислить площадь между графиком (y = x^3 + 1) и осью (y = 0) на интервале от (x = 1) до (x = 2).

3. Формула площади:
   Площадь (A) вычисляется по формуле: [ A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ] где (f(x) = x^3 + 1), (g(x) = 0), (a = 1), (b = 2).

4. Вычисление интеграла: [ A = \int_{1}^{2} (x^3 + 1) \, dx ]

   Для вычисления интеграла: [ A = \int{1}^{2} x^3 \, dx + \int{1}^{2} 1 \, dx ]

   Сначала найдем (\int x^3 \, dx): [ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C ] Тогда: [ \int{1}^{2} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} ]

   Теперь вычислим (\int 1 \, dx): [ \int{1}^{2} 1 \, dx = [x]{1}^{2} = 2 - 1 = 1 ]

   Сложим результаты: [ A = \frac{15}{4} + 1 = \frac{15}{4} + \frac{4}{4} = \frac{19}{4} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна (\frac{19}{4}).

б) Фигура, ограниченная линиями (y = x^2) и (y = 5x - 4)

1. Определение функций:
   Здесь (f(x) = 5x - 4) и (g(x) = x^2).

2. Поиск точек пересечения:
   Чтобы найти границы интегрирования, найдем точки пересечения: [ x^2 = 5x - 4 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ (x - 1)(x - 4) = 0 ] Таким образом, (x = 1) и (x = 4).

3. Постановка задачи:
   Площадь между графиками на интервале от (x = 1) до (x = 4) будет: [ A = \int_{1}^{4} ((5x - 4) - x^2) \, dx ]

4. Вычисление интеграла: [ A = \int_{1}^{4} (5x - 4 - x^2) \, dx ]

   Теперь вычислим интеграл: [ A = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx ]

   Найдем первообразную: [ \int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C ]

   Теперь посчитаем от 1 до 4: [ A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x\right]_{1}^{4} ]

   Сначала подставим (x = 4): [ A(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 ] [ = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3} ]

   Теперь подставим (x = 1): [ A(1) = -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{1}{3} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} ] [ = -\frac{1}{3} - \frac{18}{6} = -\frac{1 + 18}{6} = -\frac{19}{6} ]

   Теперь найдем разность: [ A = \frac{8}{3} - \left(-\frac{19}{6}\right) = \frac{8}{3} + \frac{19}{6} ] Приведем к общему знаменателю (6): [ A = \frac{16}{6} + \frac{19}{6} = \frac{35}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна (\frac{35}{6}).