Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х^2,х=1,х=3,у=0. Очень срочно, помогите брату моему...

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ), ( x = 1 ), ( x = 3 ) и ( y = 0 ), мы можем использовать определённый интеграл. Давайте разберём шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определите границы интегрирования

Фигура ограничена вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = 3 ). Парабола ( y = x^2 ) и прямая ( y = 0 ) образуют верхнюю и нижнюю границы фигуры соответственно.

Шаг 2: Запишите выражение для площади

Площадь между кривой ( y = x^2 ) и осью ( x ) от ( x = 1 ) до ( x = 3 ) можно найти с помощью интеграла:

[ A = \int_{1}^{3} (x^2) \, dx ]

Шаг 3: Вычислите интеграл

Вычислим интеграл:

[ A = \int_{1}^{3} x^2 \, dx ]

Найдём первообразную для ( x^2 ), которая равна ( \frac{x^3}{3} ). Теперь подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} ]

[ = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры равна (\frac{26}{3}) квадратных единиц.

График

На графике будет изображена парабола ( y = x^2 ) и вертикальные линии ( x = 1 ) и ( x = 3 ). Область между параболой и осью ( x ) от ( x = 1 ) до ( x = 3 ) закрашена.

 |\
 | \
 |  \
 |   \
 |    \
 |     \      /
 |      \    /
 |_______\__/
0--------1--3

На графике выше криволинейная область между ( x = 1 ) и ( x = 3 ) под параболой ( y = x^2 ) представляет искомую площадь.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{26}{3}) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, нужно вычислить интеграл от функции y=x^2 на отрезке [1,3] и вычесть площадь под осью абсцисс.

Итак, интеграл от функции y=x^2 на отрезке [1,3] будет равен: ∫(x^2)dx = (x^3)/3 + C

Вычислим определенный интеграл на отрезке [1,3]: ∫[1,3] (x^2)dx = [(3^3)/3 - (1^3)/3] = 8

Площадь под осью абсцисс на отрезке [1,3] равна: ∫[1,3] (0)dx = 0

Итак, общая площадь фигуры равна разнице между первым и вторым интегралами: Площадь = 8 - 0 = 8 квадратных единиц.

График данной функции y=x^2 на отрезке [1,3] будет выглядеть следующим образом:

[График]

Надеюсь, это решение поможет вашему брату. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!