Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=2-x^2 y=0 (ось OX),
x= -1,x=0
Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=2-x^2 y=0 (ось OX),
x= -1,x=0
Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения.
Подставим y=0 в уравнение y=2-x^2: 0 = 2 - x^2 x^2 = 2 x = ±√2
Таким образом, точки пересечения линий y=2-x^2 и y=0 на оси OX: x = -√2 и x = √2.
Площадь фигуры можно найти как разность между интегралом функции y=2-x^2 в пределах от -√2 до √2 и осью OX:
S = ∫[a, b] (2-x^2)dx = [2x - (x^3)/3]∣[a, b] S = [2√2 - (2^3)/3] - [-2√2 - (-2^3)/3] S = 2√2 - 8/3 + 2√2 + 8/3 S = 4√2
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2-x^2, y=0, x=-√2 и x=√2 равна 4√2.
Площадь фигуры равна 2.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 2 - x^2 ), ( y = 0 ) (ось OX), ( x = -1 ) и ( x = 0 ), нужно вычислить определённый интеграл функции ( y = 2 - x^2 ) на отрезке от ( x = -1 ) до ( x = 0 ).
Определим функцию для интегрирования: Функция, определяющая верхнюю границу фигуры, — это ( y = 2 - x^2 ). Нижняя граница — это ось OX, то есть ( y = 0 ).
Установим пределы интегрирования: Поскольку фигура ограничена по ( x ) линиями от ( x = -1 ) до ( x = 0 ), пределы интегрирования будут от (-1) до (0).
Вычислим определённый интеграл: Интеграл, который мы должны вычислить, имеет вид:
[ \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx ]
Найдём первообразную функции ( 2 - x^2 ): Первообразная для ( 2 ) равна ( 2x ), а первообразная для ( -x^2 ) равна ( -\frac{x^3}{3} ). Поэтому первообразная функции ( 2 - x^2 ) будет:
[ F(x) = 2x - \frac{x^3}{3} ]
Подставим пределы интегрирования в первообразную: Вычисляем значение первообразной в верхнем и нижнем пределе:
[ F(0) = 2(0) - \frac{0^3}{3} = 0 ]
[ F(-1) = 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} ]
Вычислим значение интеграла: Площадь равна разности значений первообразной в верхнем и нижнем пределе:
[ \int_{-1}^{0} (2 - x^2) \, dx = F(0) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{5}{3} ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{5}{3}) квадратных единиц.
