Вычислите площадь фигуры ,ограниченной линиями : y=x^2-6x+7 и y=-x^2+4x-1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых: решить уравнение (x^2 - 6x + 7 = -x^2 + 4x - 1).

2. Выразить область интегрирования: определить, какая из кривых находится выше в интервале между точками пересечения.

3. Вычислить интеграл: интеграл разности функций (y{верх} - y{низ}) по (x) от левой точки пересечения к правой.

Шаг 1: Находим точки пересечения

Исходное уравнение: [ x^2 - 6x + 7 = -x^2 + 4x - 1 ]

Переносим все члены в одну сторону: [ 2x^2 - 10x + 8 = 0 ]

Делим уравнение на 2 для упрощения: [ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = 4, \quad x_2 = 1 ]

Шаг 2: Определение области интегрирования

Подставляем значения (x = 1) и (x = 4) в обе функции: [ y(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 2; \quad y(1) = -1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 2 ] [ y(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 7 = -1; \quad y(4) = -4^2 + 4 \cdot 4 -1 = -1 ]

Проверяем, какая функция выше на интервале (x \in [1, 4]) (например, подставляя (x = 2) или (x = 3)): [ y = -x^2 + 4x - 1 ] [ y = x^2 - 6x + 7 ]

Поскольку (-x^2 + 4x - 1) - парабола с ветвями вниз и (x^2 - 6x + 7) - парабола с ветвями вверх, первая функция будет выше второй на интервале от 1 до 4.

Шаг 3: Вычисление интеграла

[ \int{1}^{4} ((-x^2 + 4x - 1) - (x^2 - 6x + 7)) \, dx ] [ = \int{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx ]

Вычисляем интеграл: [ = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x \right]_{1}^{4} ] [ = \left(-\frac{2}{3} \cdot 64 + 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4\right) - \left(-\frac{2}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1\right) ] [ = \left(-\frac{128}{3} + 80 - 32\right) - \left(-\frac{2}{3} + 5 - 8\right) ] [ = \left(-\frac{128}{3} + 48\right) - \left(-\frac{2}{3} - 3\right) ] [ = -\frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3 ] [ = -\frac{126}{3} + 51 ] [ = -42 + 51 = 9 ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями (y = x^2 - 6x + 7) и (y = -x^2 + 4x - 1), равна 9 квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем два уравнения:

x^2 - 6x + 7 = -x^2 + 4x - 1

2x^2 - 10x + 8 = 0

x^2 - 5x + 4 = 0

(x - 4)(x - 1) = 0

x = 4, x = 1

Теперь найдем значения y в точках пересечения:

y(4) = 4^2 - 6*4 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1

y(1) = 1^2 - 6*1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2

Построим графики данных функций и найдем площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого можно воспользоваться методом интегрирования. Таким образом, площадь фигуры будет равна:

∫[1,4] (x^2 - 6x + 7 + x^2 - 4x + 1) dx = ∫[1,4] (2x^2 - 10x + 8) dx

= [2/3 x^3 - 5x^2 + 8x] [1,4] = (2/364 - 516 + 8*4) - (2/3 - 5 + 8)

= (128/3 - 80 + 32) - (2/3 - 5 + 8)

= (80/3)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 6x + 7 и y = -x^2 + 4x - 1, равна 80/3 или примерно 26.67.