Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями y=x^2+2, y=x+4
Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями y=x^2+2, y=x+4
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2 и y=x+4, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения к друг другу:
x^2+2 = x+4
Получим:
x^2 - x - 2 = 0
Решив квадратное уравнение, найдем две точки пересечения. Далее, для вычисления площади фигуры, можно воспользоваться формулой для нахождения площади между двумя кривыми:
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
Где a и b - координаты точек пересечения, f(x) и g(x) - уравнения кривых.
После нахождения точек пересечения и подстановки значений в формулу интеграла, можно вычислить площадь фигуры между линиями y=x^2+2 и y=x+4.
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми (y = x^2 + 2) и (y = x + 4), нужно выполнить следующие шаги:
Определить точки пересечения кривых. Решим уравнение (x^2 + 2 = x + 4) для нахождения точек пересечения: [ x^2 - x - 2 = 0 ] Решив это квадратное уравнение, получим: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} ] Отсюда (x_1 = 2), (x_2 = -1).
Определить, какая функция находится выше в интервале пересечения. Подставим значение в середине интервала (например, (x = 0.5)) в обе функции: [ y_1 = 0.5^2 + 2 = 0.25 + 2 = 2.25 ] [ y_2 = 0.5 + 4 = 4.5 ] Понятно, что на интервале от (-1) до (2) прямая (y = x + 4) находится выше параболы (y = x^2 + 2).
Вычисление площади между кривыми. Интегрируем разность функций ( (x + 4) - (x^2 + 2) ) от (-1) до (2): [ \text{Площадь} = \int{-1}^2 [(x + 4) - (x^2 + 2)] \, dx = \int{-1}^2 (-x^2 + x + 2) \, dx ] Раскрываем интеграл: [ = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 ] Подставляем границы: [ = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) \right) ] [ = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) ] [ = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) ] Приведем к общему знаменателю и вычислим: [ = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) ] [ = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]
Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми (y = x^2 + 2) и (y = x + 4), равна (\frac{9}{2}) квадратных единиц.
